Разряды и классы

Перевод чисел

Данное действие можно считать самым простым из всех, относящихся к системам счисления.
Каждая цифра числа образует слагаемое, которое надо записать, а потом произвести необходимые арифметические действия.

Прежде чем перейти к конкретным рассуждениям, надо отметить, что приводимые в заданиях числа, обычно не превышают 1024₁₀ или ненамного больше этого значения.
Это связано с разумным ограничением сложности вычислений.

Любое из производимых действий будет замкнуто на эту таблицу!

В десятичную систему

Вне зависимости от обсуждаемой системы счисления, любое число можно разбить на разряды, каждый из которых вносит определенный вклад в значение числа.
Общей закономерностью является то, что чем правее стоит цифра, тем меньшее значение она подразумевает.

В качестве первого примера рассмотрим число 1111_n

В качестве второго примера рассмотрим число 1234_n

Общая формула для перевода:

a₁*n
+ a₂*n1
+ a₃*n2
+ a₄*n3
+ … + a_k*nk–1

где n — основание системы счисления, k — номер разряда числа.

Из десятичной системы

1. Остаток от деления

Последовательно делим число на основание до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
Остатки записываем.
После завершения вычислений записываем значения остатков в обратном порядке. Полученное число и будет ответом.

Разложим два числа: 23 и 64.

₁₀₂

₁₀₂

В некоторых учебниках (например, Босовой) предлагается таблицу записи располагать горизонтально, что очень удобно для сравнительно небольших чисел (11).

В верхней строке записывается число. Остаток от деления (в нашем случае на 2) записывается под ним, а целая часть частного — в следующей колонке.

₁₀₂

Способом деления можно перевести число в любую систему счисления. Давайте переведем 44 в троичную систему.

₁₀₃

Трудно сказать, насколько комфортно ощущают себя люди, производящие привычное деление столь необычным образом.
Лично я испытываю значительный дискомфорт, особенно при переводе не в двоичную систему.

Поэтому, давайте перейдем к другому, менее «магическому» способу.

2. Разложение

Как известно, любое число можно представить в виде суммы чисел.

Таким образом становиться ясно, что для этих вычислений нужно

Порядок действий на практике

Пример 1. Переведем 900 в семеричную систему.

Пример 2. Переведем 900 в пятеричную систему.

Пример 3. Переведем 900 в двоичную систему.

В связи с довольно большой трудоемкостью, данный метод едва ли можно назвать слишком простым
для двоичной системы. Но он вполне понятен и, из-за необходимости четкой записи, всегда может быть легко проверен.

В некоторых случаях, когда число очень мало отличается от степени основания, перевод может оказаться значительно более быстрым, чем другие способы.

Из двоичной в восьми- и шестнадцатеричную системы

Это действие является основным для многих заданий. К сожалению, большинство учебников предлагает зазубрить примерно следующий принцип.

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную следует разбить двоичное число по три разряда справа налево.

Необходимо заметить, что 8 = 23, а 16 = 24. Именно поэтому в приведенном правиле и используются группы по три разряда, а для перевода в 16-ричную потребуются уже 4 разряда.

Внимательный читатель может заметить, что еще осталось 4 = 22. То есть двоичную систему также легко можно преобразовать и в четверичную.

Отсюда же следует, что раз 9 = 32, то троичная система легко преобразуется в девятеричную, если разбить её число на пары.

Как это делается на практике.

Факультативный материал по переводу в четверичную систему.

₂₄

Из восьми и шестнадцатеричной систем в двоичную

Все также, как и в предыдущем разделе, только каждая цифра восьмеричного числа
превращается в три двоичных цифры, а шестнадцатеричного — в четыре.

Типичной ошибкой является незаписывание ведущих нулей (10 вместо 010).

Буквально пара слов о системах счисления и математике: сколько в числе нолей в конце, столько раз оно делится без остатка на основание системы.

Многозначные числа в математике

Прежде чем перейти к основному понятию, требуется вспомнить о натуральных числах – тех, что используются при счете. 

Их особенность в том, что они имеют наименьшее значение (1), но не имеют наибольшего или конечного. Ведь счет не имеет конца.

Их можно разделить на группы, в зависимости от того, сколько символов входит в их состав:

1. Однозначные – если для отображения требуется один символ (1, 2, 3 и т. д.).

2. Двузначные – когда для записи нужно две цифры (10, 11, 12 и т. д.).

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

3. Трехзначные – записывают с помощью трех символов (100, 101, 102 и т. д.).

Перечисление можно продолжать дальше – четырехзначные, пятизначные и т. д. Но для простоты обозначения все числа, содержащие в своей структуре более 1 цифры, называют многозначными.

Классификация позиционных систем

Двоичные

Определение

Двоичная система —  система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа два.

Чтобы не путать их с числами, записанными в десятичной системе счисления, справа внизу указывают основание системы счисления. Обычно число при этом заключают в скобки.

Двоичную систему использовали задолго до возникновения информационных технологий. Во втором тысячелетии до нашей эры народы Южной Америки кодировали двоичной системой свои записи, в том числе и не числовые. Узелок и ровный участок нити чередовались друг с другом.

В современной двоичной системе, на основе которой был создан телеграф, а позже — реле и переключатели, единица обозначает наличие сигнала, ноль — его отсутствие. Цифровые электронные схемы работают по тому же принципу. Также на нем основаны сигнальные системы, использующиеся до сих пор, например, азбука Морзе.

Восьмеричные

Когда-то два индейских племени решили, что им удобно при счете смотреть на восемь промежутков между пальцами, а не на сами пальцы. Восьмеричная система счисления отразилась в их языках, в которых только восемь слов, обозначающих цифры.
В двадцатом веке, когда для написания программ требовалось зашифровывать все больше информации в двоичной системе и упростить вычисления для людей, придумали альтернативную систему, которая позволила сократить количество цифр в коде. Число восемь — это два в кубе, поэтому перевести записи из двоичной системы в восьмеричную и обратно проще, чем в десятичную.

Десятичные

Элементы числовой базы, или ключевые числа, в десятичной системе счисления представляют собой степени десяти: 10 = 10^1, 100 = 10^2, 1000 = 10^3.
В системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 10 — основание системы счисления. Цифры от 0 до 9 представляют собой коэффициенты разложения числа по степеням десяти.

Родиной десятичной системы счисления считается Индия, хотя еще в вавилонской цивилизации с ее шестидесятеричной системой использовались закодированные десятичные цифры, а инки в своей узелковой письменности кодировали информацию десятью цветами. Но именно в Индии начали строго соблюдать порядок разрядов числа при записи и ставить ноль, чтобы избежать путаницы. Примерно в середине VIII века эту систему стали использовать другие страны. В Европе она распространилась к XVI веку и была названа «арабской».

Шестнадцатеричные

Шестнадцатеричные системы, как и восьмеричные, появились для упрощения взаимодействия с компьютером. Кроме арабских цифр, в них используются еще и латинские буквы от А до F. В разных языках программирования для записи чисел в шестнадцатеричной системе разные правила, называемые синтаксисом.

Пятеричная

Система, связанная с количеством пальцев на одной руке, использовалась в Китае и у некоторых племен Африки. В китайском языке у иероглифов, обозначающих цифры от шести до девяти, был один и тот же знак в начале — сокращенное обозначение цифры пять. Для записи чисел в этой системе используются цифры 0, 1, 2, 3, 4.

Двенадцатеричная

Если большим пальцем руки сосчитать число фаланг на других пальцах этой руки, получится двенадцать. Группы по двенадцать предметов называли во многих европейских языках словами, схожими с русским словом «дюжина»: duodezim на латыни, douzaine на французском, dozzina на итальянском, dozen на английском. Римляне пользовались двенадцатеричными дробями, \frac1{12} они называли унцией.

В Европе счет дюжинами долгое время, вплоть до XVIII века, сохранялся наравне с десятеричной системой. Дюжина дюжин составляла гросс (от немецкого слова «большой»), дюжина гроссов — массу. Признаки влияния числа 12 заметны в англо-американской системе линейных мер, в которой 1 фут равен 12 дюймам, 1 дюйм — 12 линиям, 1 линия — 6 точкам.

Шестидесятеричная

Первой позиционной системой счисления считается шестидесятеричная система в Древнем Вавилоне. Ее основание до сих пор применяют для измерения времени. Система счисления времени — смешанная, но для перевода минут в секунды или часы потребуется именно шестидесятеричная система.

Для измерения углов и записи координат (широты, долготы) тоже используют эту систему, так как изначально астрономические координаты записывали в шестидесятеричных дробях. По аналогии с часом градус делят на шестьдесят минут, минуту — на шестьдесят секунд.

Двадцатеричная

Двадцатеричную систему называют вигезимальной. Эта система, как и десятеричная, связана с количеством пальцев, поэтому многие народы изобрели ее независимо друг от друга. Основание 20 сохранилось в лингвистической структуре их языков, именно на нем основана система счета в разговорной речи. Например, во французском языке «восемьдесят» состоит из слов «четыре» и «двадцать».

Что такое система счисления

Система нумерации — это символьный метод записи чисел, представление чисел с помощью символов.

Символы, используемые для записи числа, называются цифрами.

• даёт представления множества чисел (целых или вещественных)
• даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление)
• отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Разные народы в разное время использовали разные системы нумерации. Следы древних систем счисления можно найти и сегодня в культурах многих народов. Вавилоняне восходят к делению часа на 60 минут и угла на 360 градусов. В Древнем Риме существовала традиция записывать числа I, II, III и т.д. в латинской нотации. Для англосаксов — измерение десятками: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, день делится на 2 периода по 12 часов.

По современным данным, развитые системы нумерации впервые появились в Древнем Египте. Для записи чисел египтяне использовали иероглифы один, десять, сто, тысяча и т.д. Все остальные числа записывались с помощью этих иероглифов и акта сложения. Недостатками этой системы были невозможность записи больших чисел и ее неудобство.

В итоге десятичная система оказалась самой популярной системой счисления. Он состоит всего из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и позиция, в которой она находится. В числе 444 три одинаковые цифры обозначают количество единиц, десятков и сотен. В числе 400, с другой стороны, первая цифра обозначает количество сотен. Два 0 сами по себе не вносят никакого вклада в число, а нужны только для того, чтобы указать положение цифры 4.

Разряды чисел

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место — позицию. Место (позицию) в записи числа, на котором стоит цифра, называют разрядом.

Разряд числа — это позиция (место) цифры в записи числа.

Счёт разрядов идёт справа налево. То есть, первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа — цифрой второго разряда и т. д. Например, в первом классе числа  148 951 784 296,  цифра  6  является цифрой первого разряда,  9  — цифра второго разряда,  2  — цифра третьего разряда:

Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иначе ещё называют разрядными единицами:

• Единицы называют  единицами первого разряда  (или простыми единицами) и пишутся на  первом  месте справа.
• Десятки —  единицами второго разряда  и пишутся в числе на  втором  месте справа.
• Сотни —  единицами третьего разряда  и пишутся на  третьем  месте справа.
• Единицы тысяч —  единицами четвёртого разряда  и пишутся на  четвёртом  месте справа.
• Десятки тысяч —  единицами пятого разряда  и пишутся на  пятом  месте справа.
• Сотни тысяч —  единицами шестого разряда  и пишутся в числе на  шестом  месте справа и так далее.

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Пример. Запишите цифрами число, которое содержит:

1)  37  единиц второго класса и  565  единиц первого класса;

2)  450  единиц второго класса и  9  единиц первого класса;

3)  8  единиц второго класса и  50  единиц первого класса.

Решение:

1)  37 565;

2)  450 009;

3)  8 050.

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называются составными единицами. Так, десяток, сотня, тысяча и т. д. — составные единицы. Каждые  10  единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого) разряда:

и так далее.

Любая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей её называется единицей высшего разряда, а по сравнению с единицей, большей её, называется единицей низшего разряда. Например, сотня является единицей высшего разряда относительно десятка и единицей низшего разряда относительно тысячи.

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, надо отбросить все цифры, означающие единицы низших разрядов и прочитать число, выражаемое оставшимися цифрами.

Например, требуется узнать, сколько всего сотен содержится в числе  6284,  т. е. сколько сотен заключается в тысячах и в сотнях данного числа вместе.

В числе  6284  на третьем месте в классе единиц стоит цифра  2,  значит в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра —  6,  означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится  10  сотен то, в  6  тысячах их заключается  60.  Всего, таким образом, в данном числе содержится  62  сотни.

Цифра    в каком-нибудь разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Например, цифра  0  в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит  0,  при чтении числа ничего не произносится:

24 527  — двадцать четыре тысячи пятьсот двадцать семь.

20 507  — двадцать тысяч пятьсот семь.

Практическое применение двух единиц третьего разряда

В компьютерных системах и программировании две единицы третьего разряда — бит и байт — имеют важное практическое значение. Они используются для определения и хранения информации, а также во множестве других приложений

Бит (bit) — это основной элемент информации в компьютерах. Он может принимать два значения: 0 или 1. Биты используются для представления и передачи информации в компьютерных системах. Они являются основой для работы с цифровыми сигналами, а также для хранения и обработки данных.

Байт (byte) состоит из восьми битов и является основной единицей хранения информации в компьютерных системах. Байты используются для представления символов, чисел, изображений и других типов данных. В большинстве компьютерных систем байты используются для организации памяти и хранения файлов.

Практическое применение двух единиц третьего разряда включает:

1. Хранение информации: Байты используются для хранения данных в компьютерной памяти и на жестком диске. Они позволяют компьютеру записывать, читать и обрабатывать информацию. Например, текстовые документы, фотографии, видео и звуковые файлы хранятся в виде последовательности байтов.

2. Представление символов и текста: В кодировках, таких как ASCII и Unicode, каждый символ представляется определенным числом байтов. Байты используются для представления букв, цифр, знаков препинания и других символов.

3. Сетевое взаимодействие: При передаче данных по сети, байты используются для представления информации, отправляемой и принимаемой между компьютерами. Байты преобразуются в сигналы, которые могут быть переданы по проводам, беспроводным соединениям или другим средствам связи.

4. Криптография: В криптографии байты используются для представления ключей шифрования и шифрованных данных. Компьютерные алгоритмы используют байты для зашифровки и расшифровки информации, обеспечивая безопасность данных.

5. Графика и изображения: Изображения, фотографии и другие графические объекты хранятся в виде байтов. Каждый пиксель изображения представляется определенным числом байтов, которые определяют его цвет и яркость.

Все эти примеры показывают практическое значение двух единиц третьего разряда — битов и байтов — в компьютерных системах и программировании. Они играют основную роль в передаче и хранении информации, а также в широком спектре других приложений.

Почему мы используем десятичную систему исчисления?

Система деления, приведенная в статье «Деление на части» удобна и практична, ее легко применять в повседневной жизни, и кое-кто даже жалеет о том, что в основе нашей системы исчисления лежит 10, а не 12. У числа 10 есть только два множителя, это 2 и 5. Десять не делится ни на 3, ни на 4. Единственная причина, по которой в основе системы оказалось число 10, – это то, что у нас по 5 пальцев на каждой руке. А вот если бы их было бы по 6…

У числа 10 есть одно преимущество перед 12. Число 10 делится на 5, а 12 – нет. Древние вавилоняне пытались соединить в одном числе все достоинства чисел 10 и 12. Такое число должно делиться не только на 2, 3, и 4, но и на 5. Наименьшим таким числом является 60. Это число используется и в астрономии. Год составляет 365 дней и несколько часов. Год – это то время, за которое Солнце совершает свой (кажущийся) круговой путь по небу относительно неподвижных звезд. Если полный круг разделить на величину пути, которое Солнце проходит за день (то есть на «путь-день»). Мы получим 365 долей круга.

У вавилонян год равнялся 360 дням (либо они неправильно вычислили продолжительность года, либо просто округлили 365 до 360 для удобства вычислений). С этим числом удобно работать, поскольку 360 – это 60х60. Поэтому они делили небесную сферу и другие круги на 360 равных частей, которые мы в наши дни называем градусами. Затем каждый градус они делили на 60 частей, которые мы называем минутами, а каждую минуту еще на 60 частей, на 60 секунд. Мы до сих пор придерживаемся вавилонской системы. Более того, поскольку время измеряется по движению крупных небесных тел на небосклоне, наш час разделен на 60 минут, а минута – на 60 секунд.

При подсчете времени мы находим также следы системы, основанной на 12. День и ночь разделены на 12 часов. В древности, до того как были изобретены часы, длина часа менялась в зависимости от времени года. Зимой дневные часы были короче, чем летом, а ночные длиннее. В наши дни продолжительность часа принята постоянной, поэтому летом светлое время длится дольше, чем зимой, ночное, наоборот, – короче.

Тем не менее на циферблате наших часов только 12 чисел, и, следовательно, мы определяем время между 1 часом ночи и 1 часом дня. (Принято считать время после 12 как 13, 14 и так далее часов, но обычно в быту мы не используем таких обозначений.)

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Распространенные системы счисления в информатике

Практически все системы, которые используют в компьютерной технике, — позиционные и однородные. Как правило, у них четное основание, которое соответствует какой-либо из степеней двойки. Это связано с особенностями хранения данных в памяти компьютера. Рассмотрим три наиболее популярных в информатике системы счисления: двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

Двоичная. Это система с основанием 2 и алфавитом, который состоит всего из двух цифр — 0 и 1. Необходимость использовать двоичную систему появилась из-за того, как компьютеры представляют информацию: в виде бит. Бит может принимать только значение «0» или «1» — «тут нет единицы информации» или «тут есть единица информации».

• 0 означает ноль, отсутствие информации.
• 1 означает единицу, например записанную в какую-то ячейку памяти.
• Цифры 2 в системе нет. Если число достигает значения 2, оно переходит в другой разряд и записывается как 10 — одна двойка и ноль единиц. Соответственно, число 3 будет записываться как 11 — одна двойка и одна единица.
• Дальше разряды увеличиваются по тому же принципу. Число 4 — это 100, то есть две двойки и 0 единиц. Число 8 — 1000, и так далее. Каждая новая степень двойки — новый разряд.

Напрямую работать с двоичным, или бинарным кодом разработчикам приходится редко

Но для общего понимания важно знать, как устроена двоичная система. Именно в таком виде на самом глубоком уровне хранятся данные в компьютере — как последовательности из нулей и единиц. Восьмеричная

Эту систему используют чуть реже, чем двоичную и шестнадцатеричную. Чаще всего ее упоминание можно встретить при работе с низкоуровневыми языками программирования, которые близки к «железу» и способны обрабатывать данные напрямую. Компьютеры объединяют части бинарного кода в блоки по 8 двоичных цифр — байты. Отсюда появилась и необходимость работать с восьмеричной системой

Восьмеричная. Эту систему используют чуть реже, чем двоичную и шестнадцатеричную. Чаще всего ее упоминание можно встретить при работе с низкоуровневыми языками программирования, которые близки к «железу» и способны обрабатывать данные напрямую. Компьютеры объединяют части бинарного кода в блоки по 8 двоичных цифр — байты. Отсюда появилась и необходимость работать с восьмеричной системой.

• Основа системы счисления — 8. Это значит, что от 0 до 7 цифры идут как обычно, а когда число доходит до 8, начинается другой разряд и число записывается как 10.
• Соответственно, число 9 будет записываться как 11, а число 10 — как 12.
• Число 16 в восьмеричной системе записывается как 20, потому что шестнадцать — это два раза по восемь. И так далее.
• Число 64 в восьмеричной системе будет выглядеть как 100, потому что это восемь раз по восемь.

Шестнадцатеричная. С этой системой счисления сталкиваются не только разработчики, но и, например, дизайнеры — в ней кодируются цвета RGB. Еще в этой системе записываются коды символов во многих кодировках. Основание шестнадцатеричной системы — число 16. Оно больше десяти, поэтому в алфавите появляются дополнительные цифры, которые обозначают буквами.

• От 0 до 9 цифры идут как обычно. Но на десяти разряд еще не меняется, поэтому для обозначения десятки нужна новая цифра. В качестве этой «цифры» используют латинскую букву A.
• Соответственно, «цифра» 11 — это B, 12 — C, и так далее до F, которая обозначает «цифру» 15.
• Когда счет доходит до шестнадцати, разряд меняется. Следующее число после F в шестнадцатеричной системе — 10.
• Числа в шестнадцатеричной системе выглядят меньше, чем в десятичной. Например, 100 в шестнадцатеричной системе — это 16 раз по 16, то есть 16 в квадрате. В десятичной системе это число 256.
• Цифры в виде букв могут встречаться в начале, конце или середине числа. Например, 1A — это 26. Единица обозначает один раз по шестнадцать, а A — «цифру» десять.

Двоичная система счисления

Микропроцессор, будучи устройством электронным, воспринимает цифры, как комбинации электрических сигналов.
Например, число может быть представлено так:

0 вольт соответствует цифре "0"
1 вольт соответствует цифре "1"
...
9 вольт соответствует цифре "9"

При этом вероятность возникновения ошибки (например, из-за колебаний напряжения) очень велика.
Наиболее надежным способом представления чисел в электронном устройстве, является двоичная система счисления:

0 ... 0,5 вольт соответствует цифре "0"
2,5 ... 5 вольт соответствует цифре "1"

Такая разница между уровнями сигналов (соответствующих «0» и «1») практически исключает ошибки связанные с колебаниями напряжения и другими искажениями сигнала.
Кроме того, значительно упрощается компонентная база компьютера.

Таким образом, двоичная система счисления стала единым стандартом представления чисел в любом «думающем» электронном устройстве.

Двоичная система оптимальна для разработки микропроцессорных систем, но очень неудобна для написания программ.
Чтобы упростить процесс общения с микропроцессором, были разработаны программы,
транслирующие шестнадцатеричные числа в двоичный код, и выполняющие обратное преобразование.
Одной из таких программ является Debug.

Для вывода на экран чисел в шестнадцатеричном формате, Debug использует небольшую подпрограмму,
которая переводит двоичные числа (обрабатываемые микропроцессором), в шестнадцатеричную форму.

Двоичные числа мы будем помечать индексом «b» (binary — двоичный), например: 10010111b

Рассмотрим число 1101b.
Все разряды числа характеризуются весовыми коэффициентами,
которые получаются возведением основания системы счисления (два) в степень, соответствующую номеру разряда.
Нумерация разрядов начинается с нуля.

Для перевода числа из двоичной системы в десятичную, необходимо выбрать весовые коэффициенты тех разрядов,
где есть единица (в случае числа 1101b, это: 23, 22 и 2).
Далее нужно сложить эти числа: 23 + 22 + 2 = 13

Перевод числа 11010010b в десятичную форму:

Переведите следующие двоичные числа в десятичный формат:

0110b       0101b       10111001b       10101101b
1011b       1001b       10011001b       11111111b

По размеру двоичные числа делятся на следующие:

                  1   бит
               1011   полубайт
          1101 0011   байт
1001 0110 0101 1110   слово

Графически это разделение можно показать так:

sign bit  bit      byte 
      |    |    |       |
      1001 0110 1101 0111
      |       word      |

Рассмотрим таблицу, в которой отражено соответствие двоичных, шестнадцатеричных и десятичных чисел.

Из таблицы видно, что двоичная и шестнадцатеричная системы кратны между собой. Данную пропорциональность в размерности чисел можно сформулировать так:

            1111b = Fh      двоичный полубайт
        11111111b = FFh     двоичный байт
1111111111111111b = FFFFh   двоичное слово

Благодаря кратности, преобразования чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную, выполняются очень просто.
Двоичное число разбивается на декады (четырехбитные фрагметны):

1001001001011011b => 1001.0010.0101.1011b

Каждая декада переводится в шестнадцатеричный формат, аналогично преобразованию чисел из двоичной системы счисления в десятичную:

1001b = 23 + 2      =  9 => 9
0010b = 21           =  2 => 2
0101b = 22 + 2      =  5 => 5
1011b = 23 + 21 + 2 = 11 => B
1001.0010.0101.1011b = 925Bh

Переведите следующие числа в шестнадцатеричную форму:

1111b       1110b       10101001b
1010b       1001b       10001001b
1011b       1101b       11111111b

Арифметические действия с двоичными числами выполняются аналогично действиям с десятичными числами.
Например, сложение одноразрядных двоичных чисел выглядит так:

                  1
 1        0        1
+0       +1       +1
 1        1       10

Сложение четырехразрядных и восьмиразрядных двоичных чисел:

1111                       111111
 1101                      01101110
+0011                     +01011010
10000   13 + 3 = 16        11001000   110 + 90 = 200

Выполните следующие действия:

0101 + 1100       10100011 + 00110011
1110 + 0011       10110011 + 01011100

(проверку результатов выполните в шестнадцатеричной системе счисления)

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса:

Названия классов многозначных чисел справа налево:

• первый — класс единиц,
• второй — класс тысяч,
• третий — класс миллионов,
• четвёртый — класс миллиардов,
• пятый — класс триллионов,
• шестой — класс квадриллионов,
• седьмой — класс квинтиллионов,
• восьмой — класс секстиллионов.

Для удобства чтения записи многозначного числа, между классами оставляется небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число  148951784296,  выделим в нём классы:

148 951 784 296

и прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

148 миллиардов 951 миллион 784 тысячи 296.

При чтении класса единиц в конце обычно не добавляют слово единиц.

Системы счисления

Начнем с определения системы счисления. Система счисления — это совокупность правил записи чисел цифровыми знаками.
Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. В настоящее время и в технике и в быту широко используются как
позиционные, так и непозиционные системы счисления. Рассмотрим сначала примеры непозиционных систем счисления.

В качестве классического примера непозиционной системы счисления обычно приводят римскую форму записи чисел. Там не
менее это не единственная непозиционная система счисления, используемая в настоящее время.

Сейчас, как и в глубокой древности, для записи числа используются так называемые «палочки». Эта форма записи чисел
наиболее понятна и требует для записи числа всего один символ. Число образуется суммой этих «палочек». Однако при записи
больших чисел возникают неудобства. Число получается громоздким и его трудно читать.

В следующем варианте непозиционной системы счисления стали использовать несколько символов (цифр). Каждая цифра
обозначает различное количеств единиц. Конечное число точно так же как и в предыдущем варианте образуется суммой цифр.
Наиболее яркий вариант использования такой системы счисления — это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся
каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем за продукты, может зависеть от того, в
каком порядке мы расположим монеты на столе! Номинал монеты или банкноты не зависит от того, в каком порядке она была
вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

Однако чем большее число требуется представить в такой системе счисления, тем большее количество цифр требуется для
этого. Позиционные системы счисления были придуманы относительно недавно для того, чтобы сэкономить количество цифр,
используемое для записи чисел.

Значение цифры в позиционной системе счисления зависит от её позиции в записываемом числе. В позиционной системе
счисления появляются два очень важных понятия — основание системы счисления и вес цифры. Дело в том, что в
позиционной системе счисления число представляется в виде формулы разложения:

_pnn_n-1n-1₂2₁1_-1-1_-2-2_-k-k

где p —  основание системы счисления
    pi — вес единицы данного разряда
    ai — цифры, разрешённые в данной системе счисления.

При этом количество цифр в системе счисления зависит от основания. Количество цифр равно основанию системы счисления.
В двоичной системе счисления две цифры, в десятичной — десять, а в шестнадцатеричной — шестнадцать.
Число в любой позиционной системе счисления записываются в виде последовательности цифр:

_nn-121-1-2-k

где a_i — цифры данной системы счисления, а цифра, соответствующая единицам определяется по
положению десятичной запятой (или десятичной точки в англоязычных странах). Каждая цифра, использованная в записи числа,
называется разрядом.

Какие же системы счисления применяются в настоящее время? Первый ответ, который я ожидаю — это десятичная
система счисления. А ещё? Да, да не удивляйтесь! Мы широко используем и другие системы счисления! Достаточно посмотреть
себе на левую руку. Там мы увидим часы. Сколько минут помещается в часе? Шестьдесят! Сколько секунд помещается в минуте?
Шестьдесят! Налицо признаки шестидесятеричной системы счисления. Это наследование древней вавилонской системы счисления,
которую вместе с компасом и часами европейцы заимствовали от арабов.

А еще примеры? Да сколько угодно! Картушка компаса делится на восемь румбов. Чем не восьмеричная система счисления?
А давно ли в России отказались от полушек (четверть копейки) или грошей (половина копейки)? А следующее значение
монеты — две копейки! Чем не двоичная система счисления?

Рассмотрим подробнее системы счисления, наиболее часто используемые в цифровой технике.