Математические языки

Производная. Г.Лейбниц (1675), Ж.Лагранж (1770, 1779).

Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции f(x) при изменении аргумента x. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс – интегрирование. В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Термин «производная» ввёл Жозеф Луи Лагранж в 1797 году, обозначения производной с помощью штриха – он же (1770, 1779), а dy/dx – Готфрид Лейбниц в 1675 году. Манера обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691). Русский термин «производная функции» впервые употребил русский математик Василий Иванович Висковатов (1779–1812).

Использование нолика с черточкой в математике

Нолик с черточкой внутри (0̶) используется в математике для обозначения некоторых специальных значений или величин. Этот символ имеет свои собственные правила использования и может возникать в различных контекстах.

1. Индекс аннулирования (зачеркнутый 0)

В некоторых областях математики, таких как теория чисел или комбинаторика, зачеркнутый 0 используется для обозначения конкретных значений. Например, в комбинаторике, зачеркнутый 0 может представлять число нуль или некоторую комбинацию нулей с другими элементами.

2. Значение нуля по модулю (0̶ в круге)

Еще одним способом использования нолика с черточкой является обозначение нуля по модулю. Вещественное число, представленное как 0̶ (с черточкой внутри круга), означает, что оно равно нулю при любой операции остатка или деления по модулю. Например, 10̶ mod 5 равно 0.

3. Значение нуля в таблицах и графиках

В таблицах и графиках, нолик с черточкой может использоваться для обозначения отсутствия данных или нулевого значения. Это может происходить, когда величина неизвестна, недоступна или присутствует пустое место в данных. Примеры включают отсутствие данных в таблицах умножения или наличие пустого значения в ячейке.

Использование нолика с черточкой в математике – это важный способ обозначения специальных значений или отсутствия данных. При работе с этим символом необходимо учитывать контекст и знать его правила использования в конкретных ситуациях.

Что означает перекрытие в математике? : Веселье с математикой!

В чем разница между Ü и ū?

В разных публикациях используются разные соглашения. Если в указанной книге используется «ū» для обозначения гласная в гладком, то есть / uː / или / u / в соглашениях на основе IPA и \ü \ в Merriam-Webster, тогда это так. Вы никогда не можете ожидать, что символ в одном источнике будет представлять то же самое в другом.

Как сделать букву А с линией над ней?

Вы будете использовать Клавиша Ctrl или Shift вместе с клавишей ударения на клавиатуре, а затем быстро нажмите букву. Например, чтобы получить символ á, вы должны нажать Ctrl+’ (апостроф), отпустить эти клавиши, а затем быстро нажать клавишу A.

Является ли 0 действительным числом?

На самом деле реальные числа — это практически любые числа, которые только можно придумать. … Действительные числа могут быть положительными или отрицательными, и включить число ноль. Их называют действительными числами, потому что они не мнимые, а это другая система чисел.

Что означает символ ∩?

∩ Символ ∩ означает перекресток. Имея два множества S и T, S ∩ T используется для обозначения множества x. Например, {1,2,3}∩{3,4,5} = {3}. \ Символ \ означает удаление из набора.

Что означает R в математике?

Список математических символов • R = вещественные числа, Z = целые числа, N = натуральные числа, Q = рациональные числа, P = иррациональные числа.

Как называется линия над буквой?

Что диакритический знак, Так или иначе? Диакритические знаки — это знаки, помещаемые над или под (а иногда и рядом) с буквой в слове для обозначения конкретного произношения — в отношении ударения, тона или ударения — а также значения, особенно когда омограф существует без отмеченной буквы или букв. .

Как вы перерисовываете?

Начните открывать документ в Word, где вы хотите добавить надчеркивание. Поместите курсор в то место, где вы хотите поместить текст, который вы собираетесь перечеркнуть. Нажмите «Ctrl + F9» на клавиатуре, и появятся квадратные скобки кода поля.

Как сделать надчеркивание в Word?

Для этого щелкните вкладку «Вставить» в вашем документе Word. В разделе «Символы» вкладки «Вставка» нажмите «Уравнение». Отображается вкладка «Дизайн» в разделе «Инструменты формул». В разделе «Структуры» нажмите «Акцент», чтобы получить доступ к различным акцентам, которые вы можете применить к верхней части текста в уравнении.

Что имеется в виду под перекрытием?

размещается на чем-то другом или поверх него. Синонимы к слову «вышележащее изображение»: наложенный. лежащий непосредственно над или на чем-то другом.

Элементом чего является символ?

Символ ∈ указывает на принадлежность к множеству и означает «является элементом», так что утверждение x∈A означает, что x является элементом множества A.

Что означают символы вероятности?

Символы вероятности и символы статистики — определение с примером. … Вероятность события выражается числом 0 и 1, 0 указывает на невозможность, а 1 указывает на достоверность события. Чем выше вероятность показывает, тем больше вероятность того, что событие произойдет.

Простая сумма

Символ Σ (сигма) обычно используется для обозначения суммы нескольких терминов.

Каковы примеры не действительных чисел?

Какие числа не являются реальными числами? Комплексные числа, например ⎷-1, не являются действительными числами. Другими словами, числа, которые не являются ни рациональными, ни иррациональными, не являются действительными числами.

Как называется?

, а (циркумфлекс) — буква инари-саамского, скольт-саамского, румынского и вьетнамского алфавитов. Эта буква также встречается во французском, фриульском, фризском, португальском, турецком, валлонском и валлийском языках как вариант буквы «а».

Какой символ у длинного а?

А, строчная буква ā, представляет собой графему, латинскую букву А с макроном, используемую в нескольких орфографиях. Ā используется для обозначения длинного A.

Какой звук а?

Испанский язык. В испанском языке á — это буква с ударением, произносимая так же, как а. И а и звук как /а/. Ударение указывает на ударный слог в словах с неправильным рисунком ударения.

Как произносится Ü по-английски?

Ü часто произносится как / jʊ / англоговорящими, но такое произношение неверно на немецком языке. Чтобы правильно произнести ü, округлите губы, как если бы вы хотели сказать «оо» в «круто» или «стул», но вместо этого двигайте языком, чтобы сказать «и» (как в «вижу») (но не двигайте языком). губы).

Особенности применения нолика с черточкой

Нолик с черточкой внутри (0̶) представляет собой графему, которая используется в некоторых языках для обозначения отсутствия некоторого качества или характеристики. В отличие от обычного нуля, нолик с черточкой обладает семантическим значением. В данной статье рассмотрим некоторые особенности его применения.

Использование нолика с черточкой в научных публикациях

В научных исследованиях нолик с черточкой часто используется для отметки о принадлежности к определенной группе или классу. Например, он может использоваться в анатомических обозначениях для указания на отсутствие некоторой структуры или органа. Также нолик с черточкой может обозначать отличие объекта от общепринятого стандарта.

Использование нолика с черточкой в программировании

В программировании нолик с черточкой может использоваться для обозначения комментариев или отключения некоторого кода. Например, в языке Python нолик с черточкой ставится перед строкой кода, которую необходимо закомментировать, чтобы она не выполнялась. Также некоторые программисты используют нолик с черточкой в качестве отдельного символа-маркера для указания особых условий или замечаний в коде.

Использование нолика с черточкой в лингвистике

В некоторых языках нолик с черточкой используется для обозначения удаления звука в слове. Например, в современном французском языке нолик с черточкой ставится над гласной, чтобы указать на то, что она не произносится. Это позволяет сократить количество звуков в слове и упрощает его произношение.

Заключение

Нолик с черточкой – это графема, которая используется в различных областях для обозначения отсутствия или удаления некоторой характеристики. Он обладает семантическим значением и играет важную роль в научных исследованиях, программировании и лингвистике. Изучение и понимание особенностей применения нолика с черточкой позволяет более точно и ясно выражать свои мысли и идеи.

Арксинус. К.Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).

Обратные тригонометрические функции – математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк» (от лат. arc – дуга). К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccosec). Впервые специальные символы для обратных тригонометрических функций использовал Даниил Бернулли (1729, 1736). Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc (от лат. arcus, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера и закрепилась благодаря французскому математику, астроному и механику Жозефу Луи Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: sin–1 и 1/sin, но они не получили широкого распространения.

Какие бывают множества

Объекты, составляющие множества — объекты нашей интуиции или интеллекта —
могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества,
включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского
алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

— натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, …

— простых чисел

— чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать,
что множество — это «мешок с элементами»

Очень важно: в множестве не бывает одинаковых
элементов

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество — это
множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например,
множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел
является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если — множество, а —
его элемент, то пишут: , что
означает » принадлежит множеству

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть
в тех или иных магазинах:

,

что означает: элемент «hleb» принадлежит множеству продуктов, которые
есть в магазине «VETEROK».

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и
описание.

Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:

,

.

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно
сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть
— некоторое высказывание, которое
описывает свойства переменной , областью
значений которых является множество . Тогда через

обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых
высказывание истинно. Это выражение
читается так: «Множество , состоящее из всех таких
, что «.

Например, запись

означает множество корней уравнения ,
т. е. множество . Это конечное множество.

А следующим описанием задаётся множество всех целых чисел
больше 5:

,

это множество является бесконечным.

Описанием предпочтительно задавать и конечные множества, в которых
очень много элементов, например, множество всех натуральных чисел от
до :

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и
обозначается знаком ∅.

Множество может состоять из одного элемента. Необходимо различать
элемент и множество ,
содержащее только один элемент , хотя бы потому,
что допускаются множества, элементы которых сами являются множествами. Например, множество
состоит из двух элементов 2 и 1,
а множество , состоит из одного элемента
, который сам является двухэлементным множеством.

Два множества называюся равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, равны множество равносторонних треугольников и множество равноугольных треугольников, так как это одни и те же треугольники:
если в треугольнике все стороны равны, то равны и все его углы. Обратно, из равенства всех
трёх углов треугольника вытекает равенство всех трёх его сторон. Равны любые два конечных
множетсва, отличающиеся друг от друга только лишь порядком их элементов, например,
.

Пример 1. Равны ли множества

и ;

и ?

Решение. Так как множества и
состоят из одних и тех же элементов, то они равны.

Множества и
не равны, так как первое множество двухэлементное, а второе — одноэлементное.

Пример 2. Даны три множества:

Верны ли следующие соотношения: ,
, ?

Решение.

Соотношение
верно, так как множество A является первым элементом множества B.

Соотношение
верно, так как множество B является первым элементом множества C.

Соотношение
верно, так как множество A не является элементом множества C. Множество
A является элементом множества B, которое является элементом множества
C, но множества A и B — это разные множества.

Если — конечное множество, то
через
обозначается число его элементов, которое называется мощностью множества.

Черточка над буквой в информатике: значение и применение

Черточка над буквой – это один из важных символов, используемых в информатике. Она играет значительную роль в различных аспектах программирования и языковой обработке текста. Черточка над буквой представляет собой оверлей, надеваемый на букву, который изменяет ее значение или дает ей дополнительные характеристики.

В информатике черточка над буквой имеет разные названия и функции в разных языках программирования. Она может использоваться как для обозначения управляющих команд, так и для написания специальных символов или акцентов в языках, использующих нестандартные символы.

Например, в языке программирования C черточка над буквой используется для обозначения типов данных, таких как указатели или длинные целые числа. В языке Python она может использоваться для указания на особый смысл переменной, например, что она является локальной или глобальной. В HTML черточка над буквой может использоваться для создания специальных символов, таких как символ копирайта или торговой марки.

Использование черточки над буквой для обозначения производных величин

В информатике черточка над буквой часто используется для обозначения производных величин. Производная является основной понятием в математическом анализе и науке о данных, и ее обозначение с помощью черточки значительно упрощает и ускоряет запись и чтение формул и уравнений.

Обычно черточку над буквой ставят после буквы, обозначающей переменную, или перед буквой, если она обозначает функцию. Например, если величина обозначается буквой «x», то ее производная обозначается как «х черта». Если величина обозначается другой буквой, например «y», то производная обозначается как «y черта». Если же величина обозначает функцию, то производная обозначается черточкой перед буквой, например «f черта».

Производные величины играют важную роль в информатике. Они позволяют вычислять скорость изменения функции, определять экстремумы, находить точки перегиба, а также решать уравнения и задачи оптимизации. Удобное обозначение производных величин с помощью черточки над буквой делает математические выкладки и программирование более легкими и понятными для специалистов в области информатики и анализа данных.

Символьное представление черточки над буквой в формате Unicode

Черточка над буквой, также известная как диакритическая черта, является специальным символом, который используется для изменения звуковой или смысловой характеристики буквы. В информатике черточка над буквой представляется с помощью символов Unicode.

Символ черточки над буквой можно представить в HTML с помощью специального кода символа. Например, для черточки над буквой «а» код символа Unicode составляет U+0304. Чтобы вставить этот символ в HTML, используйте код ̄ или ̄. Это позволит отобразить черточку над буквой «а».

Если требуется использовать черточку над другой буквой, нужно выбрать соответствующий код символа Unicode. Например, для черточки над буквой «е» код составляет U+0305. Подобным образом можно использовать различные коды символов Unicode для представления черточки над любой буквой.

Unicode предлагает различные варианты черточек над буквами, такие как прямая, косая, волнистая и другие. Кроме того, есть возможность комбинировать черточки над буквой с другими символами Unicode для создания сложных символов. Для этого комбинируются коды символов в правильном порядке.

Использование символов Unicode для представления черточки над буквой позволяет создавать более гибкие и универсальные текстовые элементы

Это особенно полезно при отображении текста в различных языках и системах письма, где черточка над буквой имеет важное значение для правильного произношения или смысла слова

Бета-функция, В-функция, В-функция Эйлера. Ж.Бине (1839).

Функция двух переменных p и q, определяемая при  p>0, q>0 равенством:

В(p, q) = ∫1хр–1(1–х)q–1dx.

Бета-функцию можно выразить через Γ-функция: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция, в некотором смысле, является обобщением биномиальных коэффициентов.

С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена итальянским физиком-теоретиком Габриэле Венециано в 1968 году. Это положило начало теории струн.

Название «бета-функция» и обозначение В(p, q) ввёл в 1839 году  французский математик, механик и астроном Жак Филипп Мари Бине.

Вертикальная полоса

« ｜ » перенаправляется сюда. Чтобы узнать об использовании похожего символа в вертикальном японском письме, см. Chōonpu .

« ‖ » Перенаправляется сюда. Чтобы узнать об использовании похожего символа в африканских языках, см. Боковые щелчки .

Не путать с зубным щелчком .
Вертикальная полоса

Вертикальная полоса , | , это глиф, который используется в математике , информатике и типографике . У него много названий, часто связанных с определенными значениями: штрих Sheffer (в логике ), pipe , vbar , stick , vertical line , vertical slash, bar , pike , or verti-bar , а также несколько вариантов этих имен. Это иногда рассматривается как подпись от имени другого лица из разбитого бара (см . Ниже)

Множества. Операции над множествами

Ключевые слова конспекта: множества, операции над множествами, подмножество, пересечение множеств, объединение множеств, элемент множества, числовые множества, обозначение некоторых числовых множеств.

В жизни часто приходится встречаться с различными совокупностями объектов, объединёнными в одно целое по некоторому признаку. Для обозначения этих совокупностей используются различные слова. Например, говорят: «стадо коров», «букет цветов», «команда футболистов» и т. д.

В математике в целях единообразия для обозначения совокупностей употребляется единый термин — множество. Например, говорят: множество чётных чисел, множество двузначных чисел, множество правильных дробей со знаменателем 5.

Термин «множество» употребляется и тогда, когда речь идёт о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек координатной плоскости, о множестве прямых, проходящих через данную точку.

Объекты или предметы, составляющие множество, называют элементами множества. Например, число 89 — элемент мнoжества двузначных чисел; точка В — элемент мнoжества вершин многоугольника ABCDE.

Множeства бывают конечные и бесконечные. Например, множество двузначных чисел — конечное множество (оно содержит 90 элементов), а множество чётных чисел — бесконечное множество.

Конечное мнoжество может содержать миллиард элементов, 2 элемента, 1 элемент или даже не содержать ни одного элемента.

Пустое множeство — это мнoжество, не содержащее ни одного элемента. Для обозначения пустого мнoжества ввели специальный знак ∅.

Конечные множeства обычно записывают с помощью фигурных скобок. Например, множество вершин пятиугольника ABCDE можно записать так:  {А, В, С, D, Е},  а множество двузначных чисел, кратных 15, так: {15, 30, 45, 60, 75, 90}.  В таких случаях говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Множeства принято обозначать большими буквами латинского алфавита. Например, рассмотренные выше множества вершин пятиугольника и двузначных чисел, кратных 15, можно обозначить соответственно буквами К и L и записать так: К = {А, В, С, D, Е};  L = {15, 30, 45, 60, 75, 90}.

Для основных числовых множеств введены специальные обозначения: множество натуральных чисел обозначают буквой N (от латинского слова natural — «естественный»), множество целых чисел — буквой Z (от немецкого слова zahl — «число»), множество рациональных чисел — буквой Q (от латинского слова quotient — «отношение»).

Число -8 является элементом мнoжества Z. Иначе говорят, что число -8 принадлежит множеству Z. Это предложение записывают короче: -8 ∈ Z. Число 0,17 не принадлежит множеству N (не является элементом множества N). Для выражения этого факта принята следующая запись: 0,17 ∉ N.

В тех случаях, когда задание множества перечислением элементов невозможно (как для бесконечного множества) или громоздко (как для конечного мнoжества с большим числом элементов), множество задают описанием, указав его характеристическое свойство, т. е. свойство, которым обладают все элементы этого множeства и не обладают никакие другие объекты.

Зададим с помощью описания некоторые мнoжества.  Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Зададим это множество описанием, используя понятие характеристического свойства. Множeство А можно охарактеризовать как «множество всех натуральных чисел от 1 до 14 включительно», или как «множество всех натуральных чисел, меньших 15», или, используя знаки ∈ , < и букву х для произвольного элемента множества А, как «множество значений х, где х ∈ N и х < 15».

Обозначения некоторых числовых множеств

Это конспект по математике на тему «Множества. Операции над множествами». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

Свойства и характеристики большой буквы e

Буква e в математике имеет особые свойства и характеристики, которые делают ее важной и полезной. 1

Природная константа:

1. Природная константа:

Большая буква e используется для обозначения основания натурального логарифма и математической константы, известной как число Эйлера или число Непера. Число e приближенно равно 2.71828 и является одной из наиболее важных иррациональных чисел в математике.

2. Производная:

Буква e также играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении. Она является основой для вычисления производной экспоненциальной функции.

3. Непрерывность:

Функция e^x обладает непрерывностью и гладкостью во всех точках действительной оси x. Большая буква e позволяет описывать различные явления и процессы в физике, химии и экономике, где изменение величины пропорционально ее текущему значению.

4. Комплексные числа:

Буква e используется при описании комплексных чисел и в теории функций комплексного переменного. Она играет особую роль в формуле Эйлера для комплексных чисел, связывающей три основных математических константы: число e, единицу i (мнимую единицу) и число π (пи).

Большая буква e имеет широкое применение в различных областях математики и науки. Ее свойства и характеристики позволяют упрощать и описывать сложные математические выражения и явления.

Действия над множествами. Диаграммы Венна

Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Опять же предупреждаю, что я рассмотрю не все операции:

1) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком

Пересечением множеств  и  называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:
Так, например, для множеств :

Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:

Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.

Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии есть хороший .

2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком

Объединением множеств  и  называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству  или множеству :

Запишем объединение множеств : – грубо говоря, тут нужно перечислить все элементы множеств  и , причём одинаковые элементы (в данном случае единица на пересечении множеств) следует указать один раз.

Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:

В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.

Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если  , то:

, при этом числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал исключительно из эстетических соображений). Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так:

3) Разностью множеств  и  называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству  и не принадлежит множеству :
Разность  читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества . Чтобы записать разность , нужно из множества  «выбросить» все элементы, которые есть во множестве :

Пример с числовыми множествами: – здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись  так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».

Зеркально: разностью множеств  и  называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству  и не принадлежит множеству :
Для тех же множеств  – из множества  «выброшено» то, что есть во множестве .

А вот эта разность оказывается пуста: . И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется

Кроме того, иногда рассматривают симметрическую разность , которая объединяет оба «полумесяца»: – иными словами, это «всё, кроме пересечения множеств».

4) Декартовым (прямым) произведением множеств  и  называется множество  всех упорядоченных пар , в которых элемент , а элемент

Запишем декартово произведение множеств : – перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества  последовательно присоединяем каждый элемент множества , затем ко 2-му элементу множества  присоединяем каждый элемент множества , затем к 3-му элементу множества  присоединяем каждый элемент множества »:

Зеркально: декартовым произведением множеств  и  называется множество  всех упорядоченных пар , в которых . В нашем примере: – здесь схема записи аналогична: сначала к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества , затем к «дэ» – те же самые элементы:

Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары. А теперь гвоздь программы: декартово произведение  – это есть не что иное, как множество точек  нашей родной декартовой системы координат

А теперь гвоздь программы: декартово произведение  – это есть не что иное, как множество точек  нашей родной декартовой системы координат .

Задание для самостоятельного закрепления материала:

Выполнить операции , если:

1) ;
2)

Множество  удобно расписать перечислением его элементов.

И пунктик с промежутками действительных чисел:

3)

Напоминаю, что квадратная скобка означает включение числа в промежуток, а круглая – его невключение, то есть «минус единица» принадлежит множеству , а  «тройка» не принадлежит множеству . Постарайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. Если возникнут затруднения, выполните чертёж

Краткое решение задачи в конце урока.

Применение черточки над буквой в программировании

Черточка или полоска над буквой — это символ, который иногда используется в программировании для обозначения различных сущностей или определенных операций. Она может иметь разные значения в разных языках программирования и обычно используется для указания специфического поведения или настроек.

1. Использование черточки над буквой в идентификаторах

Во многих языках программирования черточка может использоваться в идентификаторах переменных, функций, классов и других элементов. Например, в языке Python это может быть использовано для указания защищенных или приватных членов класса:

class MyClass:
def __init__(self):
self._protected_variable = 10
def _protected_method(self):
print("This is a protected method")

2. Использование черточки над буквой в регулярных выражениях

В регулярных выражениях черточка над буквой может использоваться для указания специальных символов или шаблонов поиска. Например, шаблон «^a» будет соответствовать любому слову, начинающемуся с буквы «a».

import re
text = "apple banana"
pattern = "^a"
result = re.findall(pattern, text)
print(result)  # Output: 

3. Использование черточки над буквой в языке LaTeX

В языке LaTeX черточка над буквой может использоваться для указания акцентов или специфической разметки. Например, команда «\'{e}» используется для обозначения буквы «е» с ударением:

\documentclass{article}
\begin{document}
\'{e} is a letter with an accent.
\end{document}

4. Использование черточки над буквой для декорации функций в Python

В языке программирования Python черточка над буквой используется для декорации функций. Декораторы позволяют добавить дополнительное поведение или функциональность к существующей функции без изменения ее исходного кода. Например, декоратор «@staticmethod» используется для объявления статического метода:

class MyClass:
@staticmethod
def my_static_method():
print("This is a static method")
MyClass.my_static_method()

5. Использование черточки в других языках программирования

Черточка над буквой также может иметь свое значение в других языках программирования или фреймворках. Например, в языке PHP черточка над буквой используется для обозначения области видимости свойств или методов внутри класса:

class MyClass {
protected $property;
protected function myProtectedMethod() {
echo "This is a protected method";
}
}
$obj = new MyClass();
$obj->property = 10;  // Error: Property 'property' is protected

Заключение

Черточка над буквой может использоваться в программировании для различных целей, от обозначения области видимости до указания специальных символов или шаблонов поиска

Каждый язык программирования может иметь свое собственное значение для этого символа, поэтому важно узнать и понять его использование в конкретном контексте

Виды математического языка

Алфавит языка математики состоит из:

• чисел, которые состоят из цифр;
• буквенных выражений и букв — одиночных и формирующих целые предложения математического характера;
• символов операций;
• скобок;
• надстрочных и подстрочных индексов.

Математика — искусственный язык. Применение естественного языка в математических дисциплинах малопродуктивно.

Под искусственными языками сейчас понимают языки программирования и компьютерные языки. Они предназначены для автоматической обработки информации с помощью электронно-вычислительных машин. Среди искусственных языков выделяют информационные языки, которые используют в различных системах обработки информации. И формальные языки науки — для символической записи фактов и теорий математики, математической логики, физики, химии, информатики.

Формальный язык наследует черты естественных языков и позиционной системы записи чисел. Любой классический формальный язык:

• одномерен или линеен;
• состоит из дискретных символов;
• выражает базисные логические средства.

Развитие математики как языка науки имеет свои особенности.

В виде языка математика формировалась после других языков, несмотря на то, что потребности в счете у человека возникли гораздо раньше появления языков.

Язык формировался на протяжении многих веков.

Искусственный язык математики имеет иного оригинальных придуманных символов. Например, символы параллельности, перпендикулярности, обозначение угла. Часть символов произошла от соответствующих названий на европейских языках.

Математический текст характеризуют смешанным набором языков.

Язык математики строго письменный. Он является средством описания. Любой математический текст состоит из слов с вкраплениями формул.

Чертежи трудно поддаются объединению в язык. Синтаксис чертежей не систематичен. Чертеж целостен, и эта целостность может искажаться при анализе.

В математику внедряли языковые конструкции подобные чертежам — коммутативные диаграммы.

В языке формируются математические выражения.

В них содержаться:

• числа в виде цифр, или букв;
• знаки математических действий;
• вспомогательные знаки — скобки.

При этом выражением не является:

• запись одного знака;
• запись, которая не обозначает действия над числом, когда знаки не связывают числа и не указывают на алгоритм действий;
• запись, в которой есть знаки сравнения.

Становление формального математического языка позволило писать программы, где интенсивно используются математические вычисления.