Множества и операции над ними для старших школьников

Операции над натуральными числами

К операциям над натуральными числами относят:

1. Сложение: a+b=c, где

a, b — слагаемые, c — сумма.

Сумма всегда больше любого из слагаемых.

Когда нужно найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: b=c-a.

1. Умножение: a*b=c, где

a, b — множители или множитель и сомножитель, c — их произведение.

В операции умножения натуральных чисел самым большим числом будет произведение.

Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель: b=c:a.

1. Вычитание: a-b=c, где

a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность.

Самое большое число в операции вычитания — уменьшаемое.

Геометрический алгоритм Евклида

Данный алгоритм часто применяется для решения задач по нахождению наибольшего общего делителя двух чисел (целых). Алгоритм работает следующим образом:

Возьмем 2 целых числа и обозначим их как a и b. Представим числа в виде отрезков. Каждый из них имеет свое числовое значение.

• Из большего отрезка нужно вычесть меньший;
• Больший отрезок заменим полученной разностью величин;
• Продолжаем вычитать из большего отрезка меньший, пока они не станут равны;
• Процедуру вычитания проводим до тех пор, пока отрезки не станут равны.

Если в итоге получаем отрезки равной величины, то значит, что они соизмеримы. И последний полученный результат — это и есть показатель их наибольшей общей меры.

Если общей меры отрезков нет, то процесс будет продолжаться бесконечно.

Метод использования алгоритма Евклида. Найдем НОД двух чисел 1071 и 462. Представим и в виде буквенных обозначений. Пусть, a = 1071, b = 462.

Из 1071 вычтем 462 кратное число раз. Это можно сделать 2 раза. Количество раз, которое можно вычесть наименьшее число из большего обозначим буквой q.

1071 – 462 ⋅ 2 = 147

Из наименьшей величины (все, как в алгоритме Евклида) вычтем кратное число раз разность.

462 – 174 ⋅ 3 = 21

И снова проделываем аналогичное вычисление.

147 – 21 ⋅ 7 = 0

Последний остаток в данном примере = 21. Следовательно, НОД для чисел 1071 и 462 =21.  Делаем вывод, что 21 > 1, значит данные числа не будут взаимно простыми.

Теперь можно попробовать применить данную формулу на практике.

Пример

Условие: нужно выяснить, являются ли числа 275 и 84 взаимно простыми или нет.

И то, и то число, точно имеют больше 1 делителя. Сразу сказать, что они взаимно простые нельзя. Для вычисления НОД применим алгоритм Евклида:

275 = 84 ⋅ 3 + 23 , 84 = 23 ⋅ 3 + 15 , 23 = 15 ⋅ 1 + 8 , 15 = 8 ⋅ 1 + 7 , 8 = 7 ⋅ 1 + 1 , 7 = 7 ⋅ 1

Ответ: Так как, НОД чисел 84 и 275 равен 1, то взаимная простота чисел доказана.

Если есть числовой ряд с большим количеством чисел и у всех у них наибольшим делителем является единица, то они будут проявлять свойство взаимной простоты по отношению друг к другу.

Количество чисел не имеет значение. Их может быть сколько угодно много. Главное – наибольший общий делитель – единица. Для наглядности, возьмем ряд чисел: 2, 3, 11, 19, 667. Они все делятся только сами на себя и на 1. Из это следует, что их свойство взаимной простоты доказано.

Примеры

Условие: определить наличие взаимной простоты у чисел 331, 463, 733 или опровергнуть ее.

Решение:

Используем для решения таблицу простых чисел. Проверим данные числа и таблицу. Да, в таблице можно встретить
их все. Это значит, что общим делителем чисел будет 1.

Ответ: все числа находятся в таблице простых чисел. Их наибольший делить -1. Значит все они взаимно
простые друг к другу.

Докажите, что следующие числа не являются взаимно простыми (105, — 14, — 2007, — 91).

Решение:

• Нужно найти общий наибольший делитель. Это можно сделать любым удобным способом;
• Вспоминаем, что отрицательные числа имеют те же делители, что и положительные.
• НОД для всех чисел будет = 7.

Ответ: 7 больше 1. Значит, что числа не будут являться взаимно простыми.

Примеры задач на нахождение суммы

Пример 1: Найдите сумму первых 5 членов натурального ряда чисел.

Решение:

• Первый член натурального ряда равен 1,
• второй член натурального ряда равен 2,
• третий член натурального ряда равен 3,
• четвертый член натурального ряда равен 4,
• пятый член натурального ряда равен 5.

Сумма первых 5 членов натурального ряда:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Пример 2: Найдите сумму четных чисел от 2 до 10.

Решение:

• Четные числа от 2 до 10: 2, 4, 6, 8, 10.
• Сумма четных чисел:

Пример 3: Найдите сумму нечетных чисел от 5 до 15.

Решение:

• Нечетные числа от 5 до 15: 5, 7, 9, 11, 13, 15.
• Сумма нечетных чисел:

Разряды и их значения

Значение цифры в записи числа определяется ее местом.

При записи числа выделяют три разряда:

1. Единиц.
2. Десятков.
3. Сотен.

Разряд единиц — последнее место в записи числа в соответствующем классе.

Разряд десятков — предпоследнее место.

Разряд сотен — третье место от конца записи числа.

Если в разряде стоит ноль, то говорят об отсутствии единиц данного разряда в десятичной записи числа.

Если число состоит из одного знака — цифры — его называют однозначным. Когда в числе два знака — двузначным.

Числа, которые состоят более чем из одного знака, называют многозначными.

Чтобы прочитать многозначное число, его запись разбивают на классы справа налево. В каждый класс заключают три знака — три разряда.

В этом числе 654 единицы в классе единиц, 321 единица в классе тысяч, ноль единиц в классе миллионов, 98 единиц в классе миллиардов, 789 единиц в классе триллионов, 456 единиц в классе квадриллионов и 123 единицы в классе квинтиллионов.

Представим решение задания в таблице:

Число читается: 123 квинтиллиона 456 квадриллионов 789 триллионов 98 миллиардов 321 тысяча 654.

Основные классы чисел[]

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N{\displaystyle \mathbb{N}}. То есть N={1,2,3,…}{\displaystyle \mathbb{N}=\left\{1, 2, 3, …\right\}} (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N={,1,2,3,…}{\displaystyle \mathbb{N}=\left\{0, 1, 2, 3, …\right\}}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Важным подмножеством натуральных чисел являются простые числа P.{\displaystyle \mathbb{P}.} Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Ряд простых чисел начинается так: 2,3,5,7,11,13,17,…{\displaystyle 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …} Любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Например, 121968=24·32·7·112.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z={…−2,−1,,1,2,…}{\displaystyle \mathbb{Z}=\left\{…-2, -1, 0, 1, 2, …\right\}}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q{\displaystyle \mathbb{Q}} (от лат. quotient).

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R{\displaystyle \R}. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb{Q}} при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R{\displaystyle \R} включает множество иррациональных чисел I{\displaystyle \mathbb{I}}, не представимых в виде отношения целых.

Комплексные числа C{\displaystyle \mathbb{C}}, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z=x+iy{\displaystyle z = x + iy}, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2=−1{\displaystyle i^2=-1}. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: P⊂N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.{\displaystyle \mathbb{P}\subset \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}.}

Представление чисел в памяти компьютера[]

подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой

Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел часто используется дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление чисел в памяти компьютера имеет ограничения, связанные с ограниченностью объёма памяти, выделяемого под числа. Даже натуральные числа представляют собой математическую идеализацию, ряд натуральных чисел бесконечен. На объём же памяти ЭВМ накладываются физические ограничения. В связи с этим в ЭВМ мы имеем дело не с числами в математическом смысле, а с некоторыми их представлениями, или приближениями. Для представления чисел отводится некоторое определенное число ячеек (обычно двоичных, бит — от BInary digiT) памяти. В случае, если в результате выполнения операции полученное число должно занять больше разрядов, чем отводится в ЭВМ, происходит так называемое переполнение, и должна быть зафиксирована ошибка. Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа.

Операции над натуральными числами

К операциям над натуральными числами относят:

1. Сложение: a+b=c, где

a, b — слагаемые, c — сумма.

Сумма всегда больше любого из слагаемых.

Когда нужно найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: b=c-a.

1. Умножение: a*b=c, где

a, b — множители или множитель и сомножитель, c — их произведение.

В операции умножения натуральных чисел самым большим числом будет произведение.

Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель: b=c:a.

1. Вычитание: a-b=c, где

a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность.

Самое большое число в операции вычитания — уменьшаемое.

Свойства натуральных чисел

Математическую теорию натуральных (то есть целых положительных) чисел называют арифметикой.

Арифметика опирается на факты: сложение и умножение целых чисел подчиняются определенным закономерностям. Чтобы описать эти законы, прибегают к использованию символов — букв a, b, c…

Это делается для того, чтобы не рассматривать частные случаи на примере определенных числовых значений, а создать универсальные правила. А для применения сформулированных законов достаточно заменить буквенные символы заданными числами и воспользоваться правилами.

Существует пять основных законов арифметики или пять основных свойств, которыми обладают натуральные числа. С их помощью упрощают выражения.

Пять законов арифметики:

Коммутативный — переместительный закон сложения: при сложении можно менять порядок чисел, над которыми совершается действие.

Коммутативный — переместительный закон умножения: при умножении можно менять порядок чисел, над которыми совершается действие.

Ассоциативный — сочетательный закон сложения: при сложении трех чисел результат не изменится, если к первому числу прибавим сумму второго и третьего, или прибавим третье к сумме второго и первого.

Ассоциативный — сочетательный закон умножения: когда умножаем три числа, то результат не изменится, если перемножать множители не по порядку.

Дистрибутивный — распределительный закон: при умножении суммы на число можно умножить число на каждый компонент суммы, а потом полученные произведения сложить. 

Алгебраические операции с нулем рассмотрим без приведения доказательств:

Литература[]

Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. — М.: Наука, 1986. — 120 с. — (Библиотечка «Квант»). (см. ISBN )

Ifrah G. The Universal History of Numbers. — John Wiley & Sons, 2000. — 635 p. — ISBN 0471393401. (см. ISBN )

 (англ.)

• Страница — краткая статья
• Страница 1 — энциклопедическая статья
• Разное — на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
• Прошу вносить вашу информацию в «Число 1», чтобы сохранить ее

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

множество натуральных чисел	бесконечно и начинается с единицы (1)
за каждым натуральным числом следует другое	оно больше предыдущего на 1
результат деления натурального числа на единицу (1)	само натуральное число: 5 : 1 = 5
результат деления натурального числа самого на себя	единица (1): 6 : 6 = 1
переместительный закон сложения	от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4
сочетательный закон сложения	результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
переместительный закон умножения	от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 × 5 = 5 × 4
сочетательный закон умножения	результат произведения множителей не зависит от порядка действий; можно хоть так, хоть эдак: (6 × 7) × 8 = 6 × (7 ×
распределительный закон умножения относительно сложения	чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 × (5 + 6) = 4 × 5 + 4 × 6
распределительный закон умножения относительно вычитания	чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 × (4 − 5) = 3 × 4 − 3 × 5
распределительный закон деления относительно сложения	чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + : 3 = 9 : 3 + 8 : 3
распределительный закон деления относительно вычитания	чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 − 3) : 2 = 5 : 2 − 3 : 2

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.

Взаимно простыми будут два таких числа a и b , наибольший общий делитель которых равен 1 , т.е. НОД ( a , b ) = 1 .

Из данного определения можно сделать вывод, что единственный положительный общий делитель у двух взаимно простых чисел будет равен 1 . Всего два таких числа имеют два общих делителя – единицу и минус единицу.

Какие можно привести примеры взаимно простых чисел? Например, такой парой будут 5 и 11 . Они имеют только один общий положительный делитель, равный 1 , что является подтверждением их взаимной простоты.

Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.

Это утверждение иллюстрирует следующий пример: составные числа — 9 и 8 образуют взаимно простую пару. Докажем это, вычислив их наибольший общий делитель. Для этого запишем все их делители (рекомендуем перечитать статью о нахождении делителей числа). У 8 это будут числа ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 , а у 9 – ± 1 , ± 3 , ± 9 . Выбираем из всех делителей тот, что будет общим и наибольшим – это единица. Следовательно, если НОД ( 8 , − 9 ) = 1 , то 8 и — 9 будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Взаимно простыми числами не являются 500 и 45 , поскольку у них есть еще один общий делитель – 5 (см. статью о признаках делимости на 5 ). Пять больше единицы и является положительным числом. Другой подобной парой могут быть — 201 и 3 , поскольку их оба можно разделить на 3 , на что указывает соответствующий признак делимости.

На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей. Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.

Условие: выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84 .

Решение

Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.

Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275 = 84 · 3 + 23 , 84 = 23 · 3 + 15 , 23 = 15 · 1 + 8 , 15 = 8 · 1 + 7 , 8 = 7 · 1 + 1 , 7 = 7 · 1 .

Ответ: поскольку НОД ( 84 , 275 ) = 1 , то данные числа будут взаимно простыми.

Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.

Взаимно простыми целые числа a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 будут тогда, когда они имеют наибольший общий делитель, равный 1 .

Иными словами, если у нас есть набор некоторых чисел с наибольшим положительным делителем, большим 1 , то все эти числа не являются по отношению друг к другу взаимно обратными.

Возьмем несколько примеров. Так, целые числа − 99 , 17 и − 27 – взаимно простые. Любое количество простых чисел будет взаимно простым по отношению ко всем членам совокупности, как, например, в последовательности 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 и 667 . А вот числа 12 , − 9 , 900 и − 72 взаимно простыми не будут, потому что кроме единицы у них будет еще один положительный делитель, равный 3 . То же самое относится к числам 17 , 85 и 187 : кроме единицы, их все можно разделить на 17 .

Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.

Условие: определите, являются ли числа 331 , 463 и 733 взаимно простыми.

Решение

Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица.

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Условие: приведите доказательство того, что числа − 14 , 105 , − 2 107 и − 91 не являются взаимно простыми.

Решение

Начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1 . Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД ( − 14 , 105 , 2 107 , − 91 ) = НОД ( 14 , 105 , 2 107 , 91 ) . Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи.

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

История натуральных чисел

Люди всегда сталкивались с необходимостью считать предметы: животных на охоте, плоды на деревьях, дни до праздника.

Первые попытки счета

• Одним из самых ранних способов счета были зарубки на палках. Каждая зарубка соответствовала одному предмету.
• Люди использовали маленькие предметы, такие как камешки или косточки, для обозначения количества.
• Индейцы использовали узлы на веревках, чтобы запоминать числа и вести учет.

Развитие систем счисления

• Римские цифры. Древние римляне использовали буквы для обозначения чисел. Система была удобна для записи дат и номеров, но не очень практична для выполнения сложных вычислений.
• Арабские цифры. Индийские математики изобрели десятичную систему счисления, которая впоследствии была заимствована арабами и распространилась по всему миру. Арабские цифры, которые мы используем сегодня, значительно упростили запись и вычисления.

Почему натуральные числа так важны

• Основа математики. Натуральные числа — это фундамент, на котором построена вся математика. Без них невозможно представить себе арифметику, алгебру, геометрию и другие разделы математики.
• Повседневная жизнь. Мы используем натуральные числа каждый день, даже не задумываясь об этом.
• Наука и техника. Натуральные числа лежат в основе многих научных теорий и технических разработок.

Что такое попарно различные натуральные числа: основные понятия и примеры

Например, рассмотрим множество {1, 2, 3, 4}. В данном случае все числа в этом множестве различны друг от друга, поэтому это множество попарно различных натуральных чисел.

Однако, если мы рассмотрим множество {1, 2, 2, 3}, то здесь имеется повторение числа 2. Это означает, что в данном множестве есть числа, которые не различаются друг от друга, и, следовательно, данное множество не является попарно различными натуральными числами.

Понятие попарно различных натуральных чисел применяется в различных областях математики и информатики, например, при анализе алгоритмов и структур данных, где требуется уникальность элементов множества или списка.

Важно понимать, что попарная различность чисел означает их уникальность только внутри данного множества. Другими словами, числа могут повторяться в других множествах и все равно остаться попарно различными натуральными числами

Задачи на построение натурального ряда

Задача 1. Постройте натуральный ряд, который начинается с числа 3 и каждое последующее число больше предыдущего на 5. Найдите 10-е число в этом ряду.

Решение: Исходный натуральный ряд: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, … Для нахождения 10-го числа прибавим к 3 число 9 умноженное на 5: 3 + 9 x 5 = 48.

Задача 2. Постройте натуральный ряд, который начинается с 1 и каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Найдите 8-е число в этом ряду.

Решение: Исходный натуральный ряд: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Для нахождения 8-го числа, нужно сложить 5 и 3: 5 + 3 = 8.

Задача 3. Постройте натуральный ряд, который начинается с 2 и каждое последующее число равно произведению предыдущего числа на 3. Найдите 6-е число в этом ряду.

Решение: Исходный натуральный ряд: 2, 6, 18, 54, 162, … Для нахождения 6-го числа, нужно умножить предыдущее число на 3: 162 x 3 = 486.

Десятичная система счисления

В десятичной системе счисления для записи натуральных чисел используют 10 знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — десять цифр. Из этих цифр составляют другие натуральные числа большей величины.

Смысл каждой из используемых цифр зависит от ее положения в числе — разряда. Принцип образования числа, когда в основе лежит определение позиции каждой цифры в нем, называют позиционным.

Изобретение позиционной нумерации, которая основана на поместном значении цифр, приписывают вавилонянам и шумерийцам. Такая нумерация была развита индусами. Древние системы нумерации были построены на аддитивном принципе, но с элементами позиционности. Например, римская нумерация предполагает «сложение или вычитание разрядов».

VII — пять + один + один = семь.

IV — пять – один = четыре.

Египетская, греческая системы были на том же уровне.

Главное неудобство такой системы заключалось в необходимости введения большого количества новых символов при увеличении числа. Это затрудняло арифметические вычисления.

Позиционная система, за счет небольшого количества символов для обозначения разных чисел, выгоднее в использовании.

Как определить, что числа попарно различны

Для этого можно сравнить каждую пару чисел в группе и проверить их на равенство. Если не найдется ни одной пары чисел, которые совпадают, то можно с уверенностью сказать, что числа в данной группе являются попарно различными.

Например, рассмотрим группу чисел: 1, 2, 3, 4. Чтобы определить, что эти числа попарно различны, мы сравниваем каждую пару чисел:

• 1 и 2 — числа различны
• 1 и 3 — числа различны
• 1 и 4 — числа различны
• 2 и 3 — числа различны
• 2 и 4 — числа различны
• 3 и 4 — числа различны

Таким образом, в данной группе чисел не найдено ни одной пары чисел, которые бы совпадали. Следовательно, все числа в группе 1, 2, 3, 4 являются попарно различными.

Важно отметить, что в определении попарной различности чисел нет ограничений на их порядок или величину. Главное условие — каждое число должно отличаться от остальных в данной группе

Если в группе чисел найдется хотя бы одна пара чисел, которые совпадают, то это будет означать, что числа в данной группе не являются попарно различными.

Организация и основные итоги эксперимента

Первая часть эксперимента была начата в 1996 году. Здесь преследовалась цель определения критериев отбора учебного материала и принципов его преподавания в классах с углубленным изучением математики или для школьников, интересующихся математикой и связывающих свою дальнейшую учебу с математическим циклом дисциплин.

Для сбора и анализа данных по проблеме исследования проводился устный и письменный опрос учителей г. Краснодара и Краснодарского края (в плане сотрудничества с Краснодарским экспериментальным центром развития образования), преподающих в классах с углубленным изучением математики или работающих с одаренными школьниками в рамках факультативных занятий, подготовки к олимпиадам, участвующих в проведении летних математических школ Краснодарского края.

Учителям предлагали следующие вопросы:

1. В каком виде (ретроспективно или обобщая) вы проводите повторение тем школьного курса математики, связанных с понятием «число»?

2. Повторяя принцип позиционной записи числа, рассматриваете ли Вы прием дробления записи числа в десятичной системе счисления на блоки цифр (по п цифр в каждом блоке)?

3

Акцентируете ли Вы внимание на разнице в понятиях «число» и «цифра»?. 4. Решаете ли Вы с учащимися задачи на применение основной теоремы арифметики (анализ сомножителей, понятие простого и составного числа)?

Решаете ли Вы с учащимися задачи на применение основной теоремы арифметики (анализ сомножителей, понятие простого и составного числа)?

4. Решаете ли Вы с учащимися задачи на применение основной теоремы арифметики (анализ сомножителей, понятие простого и составного числа)?

5. В какой форме Вы доказываете признаки делимости (как достаточные или необходимые и достаточные признаки)?

6

Повторяя схему деления с остатком на фиксированное число, обращаете ли Вы внимание на оценку остатка и, в связи с этим — на диапазон выбора остатков для данного делителя?. 7. Рассматривая признак делимости на данное число, выделяете ли Вы объект, который несет информацию об остатке (понятие равноостаточных чисел)?

Рассматривая признак делимости на данное число, выделяете ли Вы объект, который несет информацию об остатке (понятие равноостаточных чисел)?

7. Рассматривая признак делимости на данное число, выделяете ли Вы объект, который несет информацию об остатке (понятие равноостаточных чисел)?

8. Используете ли Вы метод работы с классами равноостаточных чисел (операции над классами)?

9. Обсуждаете ли Вы с учащимися принцип расширения числовых множеств?

10.Проводите ли Вы сравнение наборов свойств операций для различных числовых множеств с введенными на них операциями (например, в виде классификационных таблиц)? Если да, то используете ли Вы термины «группа», «кольцо», «поле»?

11.В случае положительного ответа на вопрос 10: рассматриваете ли Вы множества нечисловой природы в контексте понятия «алгебраическая структура» (множество векторов с операцией сложения, множество многочленов степени не выше п с операцией сложения, множество параллельных переносов с операцией композиции, множество классов чисел с операциями сложения и умножения и т.д.)?

12.Считаете ли Вы полезным проведение повторения с ярко выраженным характером теоретического обобщения?

13.Какой литературой Вы пользуетесь при повторении учебного материала по теме «Числовые множества»?

В результате опроса учителей выяснилось, что

1. Повторение темы «Числовые множества» происходит в основном ретроспективно.

2. Признаки делимости рассматриваются всегда только для ситуации делимости нацело.

3. Метод решения задач на делимость с выполнением операций над классами чисел применяют только лишь отдельные учителя (4%), излагая при этом фрагменты теории сравнений.

4. Свойства операций в подавляющем большинстве случаев связываются с природой элементов, участвующих в операции

На уроках не акцентируется внимание на том, что имеется некая общность при рассмотрении переместительного закона умножения чисел и, например, пе-реместительного закона сложения многочленов

5. Термины «группа», «кольцо», «поле» не употребляются, так как эти понятия в учебниках отсутствуют.

6. В учебной литературе нет систематизированного изложения учебного материала по понятию «число» (в контексте одного из ведущих понятий математики «алгебраическая структура»), которое носило бы характер обобщения теоретических знаний и практических умений.