Взаимно простые числа

Слайд 16В школе №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой

школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся,

писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причем в школе №2 средний балл равнялся 22. Один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 12,5%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 12,5%.а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в нее учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

7.1

Слайд 17В школе №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой

школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся,

писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест целым числом, причем в школе №2 средний балл равнялся 22. Один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 12,5%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 12,5%.а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в нее учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

7.2

Тип 2. Делители числа

Простые задачи (маленький диапазон):

Пример 1. Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку простые числа. Выведите на экран все найденные простые числа в порядке возрастания, слева от каждого числа выведите его порядковый номер в последовательности. Каждая пара чисел должна быть выведена в отдельной строке.

Например, в диапазоне ровно два различных натуральных простых числа  — это числа 5 и 7, поэтому для этого диапазона вывод на экране должна содержать следующие значения:

1 5

3 7

Примечание. Простое число  — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя  — единицу и самого себя.

Неоптимальное решение (простое в написании)

for n in range(245690,245756):
    k = 0
    for i in range(1,n+1):
        if n % i == 0:
            k = k + 1

    if k == 2:
        print(n)

print('=======================')

Оптимальное решение (но сложное в написании)

import math
 
for n in range(245690,245756):
    nn = int(math.sqrt(n))
    k = 0
    for i in range(1,nn+1):
        if n % i == 0:
            k = k + 1
            if int(n/i) != i:
                k = k + 1
            if k > 2:
                break
    if k == 2:
        print(n)

print('=======================')

Пример 2. Напишите программу, которая ищет среди целых чисел, принадлежащих числовому отрезку , числа, имеющие ровно четыре различных натуральных делителя, не считая единицы и самого числа. Для каждого найденного числа запишите эти четыре делителя в четыре соседних столбца на экране с новой строки. Делители в строке должны следовать в порядке возрастания.

Например, в диапазоне ровно четыре различных натуральных делителя имеет число 12, поэтому для этого диапазона вывод на экране должна содержать следующие значения:

2 3 4 6

Неоптимальное решение (простое в написании)

for n in range(210235,210300):
    k = 0
    m = []
    for i in range(2,n):
        if n % i == 0:
            k = k + 1
            m.append(i)
            
    if k == 4:
        print(n)
        print(m)
 
print('=======================')

Оптимальное решение (но сложное в написании)

import math
 
for n in range(210235,210300):
    nn = int(math.sqrt(n))
    k = 0
    m = []
    for i in range(2,nn):
        if n % i == 0:
            a = i
            k = k + 1
            m.append(a)

            b = int(n/i) 
            if b != a:
                k = k + 1
                m.append(b)
            if k > 4:
                break
    if k == 4:
        print(n)
        print(m)
 
print('=======================')

Сложные задачи (большой диапазон):

Пример 1. Найдите все натуральные числа, принадлежащие отрезку , у которых ровно пять различных нечётных делителей (количество чётных делителей может быть любым). В ответе перечислите найденные числа в порядке возрастания.

import math, datetime

for n in range(45000000,46000000+1):
    nn = int(math.sqrt(n))
    k = 0
    m = []
    for i in range(1,nn+1):
        if n % i == 0:
            a = i
            b = int(n/i)
            if a%2 != 0:
                k = k + 1
                m.append(a)
            if b%2 != 0 and b != i:
                k = k + 1
                m.append(b)
            if k > 5:
                break
    if k == 5:
        print(n)
        print(m)

print('=======================)

Интересная задача с функцией

Пусть M(N)  — произведение 5 наименьших различных натуральных делителей натурального числа N, не считая единицы. Если у числа N меньше 5 таких делителей, то M(N) считается равным нулю.

Найдите 5 наименьших натуральных чисел, превышающих 200 000 000, для которых 0 < M(N) < N. В ответе запишите найденные значения M(N) в порядке возрастания соответствующих им чисел N.

def m(n):
    k = 0
    m = 1
    for i in range(2,n+1):
        if n%i == 0:
            k = k + 1
            m = m * i
            if k == 5:
                break
    if k < 5:
        rez = 0
    else:
        rez = m
    return(rez)    

k = 0
for i in range(200000001,300000000):
    f = m(i)
    if 0 < f and f < i:
        k = k + 1
        print(i,'===',f)
    if k == 5:
        print('===========');
        break

Ответ

• 1728
• 21632
• 1260
• 1152
• 4127787

Равные и неравные целые числа

Результатом сравнения двух целых чисел может быть один из выводов: либо эти числа равны, либо – не равны. Для начала дадим определение равных и неравных целых чисел.

Определение.

Два целых числа называются равными, если их записи совпадают вплоть до знаков, или если это целые числа и −0 (−0 это есть не что иное, как ). В противном случае целые числа называются неравными.

Отдельно скажем о равенстве целых чисел и −0. Число −0 есть противоположное число нулю, а число, противоположное нулю, есть нуль.

На основании приведенного определения мы легко можем выяснить, равны ли два заданных целых числа. Например, целые числа −95 и −95 равны, так как их записи одинаковы и знаки тоже, целые числа −1 и 1 не равны, так как их знаки различны, целые числа 148 и −90 312 также не равны, так как их записи и знаки различны.

Для записи равных чисел используют знак равно вида «=», который располагают между равными числами. Например, равенство целых чисел −51 и −51 можно записать как −51=−51, с другой стороны запись −767=−767 означает равенство целых чисел −767 и −767. Также для краткости записи используется знак не равно вида «≠». К примеру, запись 54≠−61 означает, что целые числа 54 и −61 не равны.

Приведем еще одну более строгую формулировку определения равных и неравных целых чисел, в которой фигурирует модуль числа.

Определение.

Два целых числа равны между собой, если эти числа имеют одинаковые знаки и равны модули этих чисел, а также, если это целые числа и −0. В противном случае два целых числа не равны.

Приведем пример использования этого определения для выяснения равенства или неравенства двух целых чисел.

Рассмотрим пример. Выясним, равны ли целые числа −708 и −711. Оба числа имеют знак минус, поэтому переходим к сравнению модулей этих целых чисел. Модуль числа −708 равен 708, а , и натуральные числа 708 и 711 не равны (при необходимости смотрите раздел теории ). То есть, модули сравниваемых целых чисел не равны, следовательно, −708≠−711.

Разберем еще один пример. Целые числа 11 и 11 равны, так как знаки сравниваемых целых чисел одинаковы (оба числа 11 и 11 со знаком плюс), и модулями этих чисел являются равные натуральные числа 11 и 11. Отметим, что можно было рассуждать и так: сравниваемые целые числа 11 и 11 являются натуральными числами, причем их записи одинаковы, значит, они равны.

В случае неравенства двух чисел обычно принято уточнять, какое из чисел больше, а какое – меньше другого. Ниже мы разберем правила, позволяющие это делать.

Определение понятия

Когда говорят о терминах, попарно различными они называются только в том случае, если они не идентичны друг другу и не могут быть заменены друг на друга. Если два объекта очень похожи друг на друга, но имеют малейшие отличия, то их можно считать попарно различными.

Например, банан и авокадо — это два попарно различных фрукта. Они очень похожи на внешний вид и размер, но имеют разные текстуры и вкусы.

Еще один пример — белая и черная кошка. Они обе являются кошками, но их окрас отличается. Поэтому они могут быть описаны как попарно различные.

Также в математике попарное различие может быть определено как свойство, при котором каждый элемент множества отличается от других элементов этого же множества.

Таким образом, попарное различие — это важное свойство объектов, которое позволяет проводить различные сравнения и анализы в разных областях знаний

Что такое попарно различные числа?

Для определения попарной различности чисел необходимо проверить каждую пару чисел в наборе и убедиться, что они не равны друг другу. Если в наборе нет двух чисел, которые совпадают, можно сказать, что числа в наборе попарно различны.

Например, набор чисел {2, 4, 6, 8} является попарно различным, потому что ни одна пара чисел в наборе не равна друг другу. Однако набор чисел {1, 2, 3, 1} не является попарно различным, потому что первое и последнее числа равны.

Попарная различность чисел имеет важное значение в различных областях математики и информатики, например, при проверке уникальности элементов в наборе или при поиске дубликатов

Разнообразие чисел

Уникальность чисел обеспечивается тем, что каждое из них имеет свою собственную, неповторимую комбинацию цифр. Например, числа 123 и 321 считаются различными, так как имеют разную последовательность цифр.

Уникальные числа могут быть использованы для решения различных задач и построения разнообразных моделей. Например, они могут быть использованы для создания уникальных идентификаторов элементов в базе данных или для генерации случайных чисел в программировании.

Попарно различные числа часто используются для представления данных в таблицах. Таблица является удобным и наглядным способом представления разнообразных числовых значений. Она может содержать столбцы и строки, в которых числа могут быть упорядочены или группируются в соответствии с определенными правилами.

Например, таблица может содержать данные о населении различных городов или о стоимости различных товаров. Попарно различные числа позволяют уникально идентифицировать каждый элемент данных в таблице и облегчают поиск и обработку информации.

В таблице выше приведены примеры данных о населении различных городов. Каждая ячейка таблицы содержит попарно различное число, которое уникально идентифицирует соответствующую информацию.

Использование попарно различных чисел позволяет создавать точное и структурированное представление данных, что делает их понятными и легко анализируемыми. Они полезны не только в математике и программировании, но и во многих других областях, где требуется работа с числовыми данными.

Свойства попарно различных чисел

Свойства попарно различных чисел соответствуют их определению:

Свойства попарно различных чисел являются важными при решении различных задач, в том числе в комбинаторике, теории множеств, алгоритмах и других областях математики и информатики. Представление чисел как попарно различных наборов позволяет облегчить анализ и манипуляции с ними.

Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число

Со сравнением двух целых чисел мы полностью разобрались в предыдущих разделах этой статьи. Сейчас мы еще вкратце остановимся на сравнении трех и большего количества целых чисел, и разберем возникающие при этом ситуации.

Когда сравниваются три и более числа, то сначала проводится сравнение всех возможных пар, составленных из этих чисел. Например, при сравнении четырех целых чисел 7, 17, и −2 попарно сравниваются 7 и 17, 7 и , 7 и −2, 17 и , 17 и −2, и −2, при этом получаются следующие результаты 7<17, 7>0, 7>−2, 17>0, 17>−2 и 0>−2. После этого полученные результаты объединяются в цепочку неравенств (и равенств, когда есть равные числа). Для этого исходные числа записываются в порядке возрастания от самого меньшего до самого большего и между двумя соседними числами ставятся знак < (и знак = между равными числами). В нашем примере цепочка неравенств будет иметь следующий вид −2<0<7<17.

При сравнении нескольких чисел возникает понятие наибольшего и наименьшего числа.

Определение.

Число, которое меньше любого другого числа из рассматриваемого множества чисел, называется наименьшим числом в данном множестве.

Определение.

Число, которое больше любого другого числа в рассматриваемом множестве чисел, называется наибольшим числом в данном множестве.

Проще говоря, наибольшее число – это самое большое число в данном множестве чисел, а наименьшее число – это самое маленькое число.

Приведем пример наибольшего и наименьшего целого числа в множестве, состоящем из шести целых чисел −4, −81, −4, 17, и 17. Результат сравнения этих чисел имеет вид −81<−4=−4<0<17=17. Отсюда хорошо видно, что число −81 является наименьшим целым числом в рассматриваемом множестве, а число 17 – наибольшим целым числом в этом множестве.

Вообще все числа из множества целых чисел можно записать в порядке возрастания (каждое следующее число больше предыдущего), при этом получим последовательность целых чисел вида …, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Эту последовательность целых чисел можно также записать в виде бесконечной цепочки неравенств: …<−5<−4<−3<−2<−1<0<1<2<3<4<5<…

Отсюда видно, что в множестве целых чисел не существует ни наибольшего целого числа, ни наименьшего целого числа. Действительно, всегда можно указать целое число, которое больше любого наперед заданного сколь угодно большого целого числа (им будет любое следующее число в последовательности целых чисел). Аналогично можно указать целое число, которое меньше любого наперед заданного сколь угодно малого целого числа (это любое число, предшествующее заданному числу в последовательности целых чисел).

Однако во множестве целых положительных чисел (1, 2, 3, …) существует наименьшее целое число – это число 1. Во множестве целых неотрицательных чисел (0, 1, 2, 3, …) наименьшим числом является число . Целое положительное число в только что указанных множествах мы указать не можем.

Число нуль является наибольшим целым неположительным числом (во множестве целых неположительных чисел …, −3, −2, −1, 0). А −1 (минус один) – это наибольшее целое число в множестве целых отрицательных чисел (…, −3, −2, −1). Наименьшего целого числа эти множества не имеют.

Список литературы.

Объяснение с практическими примерами

Попарно различные положительные двузначные числа — это двузначные числа, которые отличаются хотя бы в одной цифре. Например, числа 23 и 46 попарно различны, так как различаются в обеих цифрах.

Как найти все такие числа? Самый простой способ — перебрать все возможные пары чисел от 10 до 99 и проверить, различаются ли они попарно. Но это довольно трудоемкий процесс. Более эффективный способ — применить комбинаторику.

Комбинаторика — это раздел математики, который занимается изучением комбинаций объектов. В данном случае объектами являются цифры двузначных чисел. Если мы выбираем из этих цифр две различные, то получаем различное двузначное число. Всего различных комбинаций выбора двух цифр из четырех (это количество цифр в двузначном числе) равно 6: 23, 24, 25, 34, 35, 45. Но из этих комбинаций нужно выкинуть те, которые содержат повторяющиеся цифры, например, 22, 33 или 44. Остаются только 4 различные комбинации: 23, 24, 25 и 34, которые соответствуют попарно различным положительным двузначным числам.

Можно составить таблицу для удобства перечисления всех попарно различных чисел:

Таким образом, попарно различные положительные двузначные числа — это 10 чисел от 12 до 95.

Сочетания с повторениями: примеры

Примеры сочетаний с повторениями могут быть полезны в различных областях, таких как математика, информатика, статистика и другие. Рассмотрим несколько примеров:

Как можно видеть из примеров, сочетания с повторениями позволяют получать различные комбинации из заданных элементов. Этот инструмент широко используется при решении задач, связанных с перебором, комбинаторикой и вероятностными расчетами.

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.

Взаимно простыми будут два таких числа a и b , наибольший общий делитель которых равен 1 , т.е. НОД ( a , b ) = 1 .

Из данного определения можно сделать вывод, что единственный положительный общий делитель у двух взаимно простых чисел будет равен 1 . Всего два таких числа имеют два общих делителя – единицу и минус единицу.

Какие можно привести примеры взаимно простых чисел? Например, такой парой будут 5 и 11 . Они имеют только один общий положительный делитель, равный 1 , что является подтверждением их взаимной простоты.

Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.

Это утверждение иллюстрирует следующий пример: составные числа — 9 и 8 образуют взаимно простую пару. Докажем это, вычислив их наибольший общий делитель. Для этого запишем все их делители (рекомендуем перечитать статью о нахождении делителей числа). У 8 это будут числа ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 , а у 9 – ± 1 , ± 3 , ± 9 . Выбираем из всех делителей тот, что будет общим и наибольшим – это единица. Следовательно, если НОД ( 8 , − 9 ) = 1 , то 8 и — 9 будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Взаимно простыми числами не являются 500 и 45 , поскольку у них есть еще один общий делитель – 5 (см. статью о признаках делимости на 5 ). Пять больше единицы и является положительным числом. Другой подобной парой могут быть — 201 и 3 , поскольку их оба можно разделить на 3 , на что указывает соответствующий признак делимости.

На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей. Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.

Условие: выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84 .

Решение

Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.

Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275 = 84 · 3 + 23 , 84 = 23 · 3 + 15 , 23 = 15 · 1 + 8 , 15 = 8 · 1 + 7 , 8 = 7 · 1 + 1 , 7 = 7 · 1 .

Ответ: поскольку НОД ( 84 , 275 ) = 1 , то данные числа будут взаимно простыми.

Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.

Взаимно простыми целые числа a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 будут тогда, когда они имеют наибольший общий делитель, равный 1 .

Иными словами, если у нас есть набор некоторых чисел с наибольшим положительным делителем, большим 1 , то все эти числа не являются по отношению друг к другу взаимно обратными.

Возьмем несколько примеров. Так, целые числа − 99 , 17 и − 27 – взаимно простые. Любое количество простых чисел будет взаимно простым по отношению ко всем членам совокупности, как, например, в последовательности 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 и 667 . А вот числа 12 , − 9 , 900 и − 72 взаимно простыми не будут, потому что кроме единицы у них будет еще один положительный делитель, равный 3 . То же самое относится к числам 17 , 85 и 187 : кроме единицы, их все можно разделить на 17 .

Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.

Условие: определите, являются ли числа 331 , 463 и 733 взаимно простыми.

Решение

Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица.

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Условие: приведите доказательство того, что числа − 14 , 105 , − 2 107 и − 91 не являются взаимно простыми.

Решение

Начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1 . Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД ( − 14 , 105 , 2 107 , − 91 ) = НОД ( 14 , 105 , 2 107 , 91 ) . Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи.

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Примеры попарно различных чисел

Попарно различные числа — это набор чисел, в котором каждое число отличается от каждого другого числа. Например, набор чисел {1, 2, 3, 4, 5} является попарно различным, так как каждое число отличается от каждого другого числа.

Еще один пример попарно различных чисел — набор дробных чисел {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6}. В этом наборе каждое число отличается от каждого другого числа, так как они имеют разные значения.

Другой пример попарно различных чисел — набор отрицательных целых чисел {-5, -4, -3, -2, -1}. Этот набор также является попарно различным, так как каждое число отличается от каждого другого числа.

Таблица ниже представляет еще несколько примеров попарно различных чисел:

В каждом из этих примеров каждое число отличается от каждого другого числа, что делает их попарно различными.

Слайд 12На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетили сайта считают

лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста.

На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа.а) Всего проголосовало 14 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 18?б) Пусть посетители голосовали за одного из трех футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 4. Это число не изменилось после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе проголосовавших за всех футболистов (включая Васю) такое возможно?

5.2

Рациональные числа и их отношение к другим классам чисел

Рациональные числа включают в себя как целые числа, так и натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для подсчета предметов или организации событий, например, 1, 2, 3 и т.д. Целые числа — это натуральные числа вместе с отрицательными числами, например, -1, -2, -3 и т.д.

Рациональные числа также относятся к классу действительных чисел, которые включают в себя как рациональные числа, так и иррациональные числа. Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби и обладают бесконечным непериодическим десятичным представлением. Примерами иррациональных чисел являются корень из 2, число Пи и т.д.

Сравнение и взаимоотношение классов чисел:

1. Натуральные числа можно рассматривать как основу для построения целых и рациональных чисел. Целые числа включают в себя натуральные числа, а также добавляют отрицательные числа. Рациональные числа включают в себя как натуральные, так и целые числа, а также добавляют числа, представимые в виде дробей.

2. Действительные числа включают в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Рациональные числа могут быть представлены в виде десятичных дробей, как периодических, так и непериодических. Иррациональные числа не могут быть представлены в виде десятичных дробей и имеют бесконечное непериодическое десятичное представление.

3. Все классы чисел — натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные — вместе образуют множество всех чисел. Это множество называется числовой прямой.

Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число

Со сравнением двух целых чисел мы полностью разобрались в предыдущих разделах этой статьи. Сейчас мы еще вкратце остановимся на сравнении трех и большего количества целых чисел, и разберем возникающие при этом ситуации.

Когда сравниваются три и более числа, то сначала проводится сравнение всех возможных пар, составленных из этих чисел. Например, при сравнении четырех целых чисел 7, 17, и −2 попарно сравниваются 7 и 17, 7 и , 7 и −2, 17 и , 17 и −2, и −2, при этом получаются следующие результаты 7<17, 7>0, 7>−2, 17>0, 17>−2 и 0>−2. После этого полученные результаты объединяются в цепочку неравенств (и равенств, когда есть равные числа). Для этого исходные числа записываются в порядке возрастания от самого меньшего до самого большего и между двумя соседними числами ставятся знак < (и знак = между равными числами). В нашем примере цепочка неравенств будет иметь следующий вид −2<0<7<17.

При сравнении нескольких чисел возникает понятие наибольшего и наименьшего числа.

Определение.

Число, которое меньше любого другого числа из рассматриваемого множества чисел, называется наименьшим числом в данном множестве.

Определение.

Число, которое больше любого другого числа в рассматриваемом множестве чисел, называется наибольшим числом в данном множестве.

Проще говоря, наибольшее число – это самое большое число в данном множестве чисел, а наименьшее число – это самое маленькое число.

Приведем пример наибольшего и наименьшего целого числа в множестве, состоящем из шести целых чисел −4, −81, −4, 17, и 17. Результат сравнения этих чисел имеет вид −81<−4=−4<0<17=17. Отсюда хорошо видно, что число −81 является наименьшим целым числом в рассматриваемом множестве, а число 17 – наибольшим целым числом в этом множестве.

Вообще все числа из множества целых чисел можно записать в порядке возрастания (каждое следующее число больше предыдущего), при этом получим последовательность целых чисел вида …, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Эту последовательность целых чисел можно также записать в виде бесконечной цепочки неравенств: …<−5<−4<−3<−2<−1<0<1<2<3<4<5<…

Отсюда видно, что в множестве целых чисел не существует ни наибольшего целого числа, ни наименьшего целого числа. Действительно, всегда можно указать целое число, которое больше любого наперед заданного сколь угодно большого целого числа (им будет любое следующее число в последовательности целых чисел). Аналогично можно указать целое число, которое меньше любого наперед заданного сколь угодно малого целого числа (это любое число, предшествующее заданному числу в последовательности целых чисел).

Однако во множестве целых положительных чисел (1, 2, 3, …) существует наименьшее целое число – это число 1. Во множестве целых неотрицательных чисел (0, 1, 2, 3, …) наименьшим числом является число . Целое положительное число в только что указанных множествах мы указать не можем.

Число нуль является наибольшим целым неположительным числом (во множестве целых неположительных чисел …, −3, −2, −1, 0). А −1 (минус один) – это наибольшее целое число в множестве целых отрицательных чисел (…, −3, −2, −1). Наименьшего целого числа эти множества не имеют.

Список литературы.

Зачем нужно знать о попарно различных числах и как это применять в жизни?

1

В контексте математики: знание попарно различных чисел особенно важно для решения задач в области комбинаторики и теории вероятностей. Возьмем, к примеру, задачу о выборке комиссии из группы людей, в которой не должно быть повторений

В этом случае, зная, что числа в выборке должны быть попарно различными, мы можем более быстро и точно рассчитать количество возможных комиссий.

2. В контексте компьютерной науки: знание попарно различных чисел может быть полезно при генерации случайных чисел, а также при создании уникальных идентификаторов или паролей для пользователей. В этом случае, используя попарную уникальность чисел, мы можем увеличить стойкость к различного рода атакам и повысить безопасность системы.

3. В контексте общей культуры: знание попарно различных чисел может пригодиться в повседневной жизни при планировании различных мероприятий и встреч с друзьями. Например, если вы решите устроить лотерею или розыгрыш призов, то, зная, что числа должны быть попарно различными, вы можете гарантировать честность розыгрыша и предотвратить возможные обманы.

4. Итоги: знание попарно различных чисел очень полезно во многих сферах нашей жизни — от математики и компьютерной науки до повседневных задач и общей культуры. Поэтому, освоив эту тему, мы можете существенно повысить свой уровень знаний и уверенность в себе, а также применять эти знания в своей жизни и работе.

Слайд 8Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр,

при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и

в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 3/7 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группебыло 20 учащихся?б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Ключевую роль в решении играет следующая идея: чтобы повысить долю мальчиков в группе, не выходя за пределы ограничений, данных в условии, нужно чтобы все девочки сходили и в кино, и в театр. А каждый мальчик – только в кино или только в театр.

4.2

Ввод данных и преобразования типов

На прошлом занятии мы научились выводить данные с помощью функции . Например, чтобы вывести число 5 на экран нужно написать в интерпретаторе , и он сделает свое дело.

Но что, если нужно что-то ввести в программу из внешнего мира? Например, если наш самописный калькулятор умеет складывать 2 числа и выводить ответ, то как ввести эти самые 2 числа? На помощь придет функция . Попробуем написать вышеописанный калькулятор.

Как видно из примера, что-то пошло не так. Вместо заветных 46 после сложения 12 и 34 мы получили 1234. Все дело в типах данных. Функция всегда считывает данные в виде строки. Так и в примере она считала 12 и 34 как 2 строки и просто «слепила» их вместе. Мы же хотим складывать числа. Чтобы все работало хорошо, нужно выполнить преобразование типов данных.

В данном случае можно сделать вот так:

То, чего мы и хотели.

Преобразовывать можно не только строку в целое число, но и наоборот. Вот несколько допустимых преобразований:

Как вы уже поняли, чтобы преобразовать что-то во что-то, надо взять и вызвать функцию, совпадающую по имени с названием типа данных. В нашем примере это , и .

Слайд 5Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и

их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.)

выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такие число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доску будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8 б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Для решения пункта в) нам пригодятся рассуждения и «с начала», и «с конца».
Среди задуманных чисел есть 9, причем только одна (на доске нет 18), есть 10 и тоже одна (на доске нет 29) и есть хотя бы одно число 11.Сумма этих чисел – 30, а сумма всех – 52. Значит сумма оставшихся 22. И среди слагаемых не может быть чисел меньших 11. Очевидно, что существует два таких представления числа 22: 11+11 и само 22.
Получаем два возможных задуманных набора:
1) 9, 10, 11, 11, 11;2) 9, 10, 11, 22.
Остается проверить, что оба задуманных набора подходят по остальным позициям.

2.2